《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

- 例2 一圆弧形拱桥如图6所示，拱桥的水面跨度AB=80m，桥拱到水面的最大高度为20m。
(1) 求桥拱的半径。

(2) 现水位上涨后水面跨度为60m，求水位上涨的高度。
- 思路点拨
(1) 根据垂径定理构造直角三角形，然后利用勾股定理列方程求解。
(2) 已知半径长和弦长，利用垂径定理和勾股定理可求出弦心距，再根据线段的和差关系求解。
- 解
(1) 如图7，设桥拱的圆心为E，过圆心E作EF⊥AB于点F，交$\overset{\frown}{AB}$于点D，则DF=20m。

由垂径定理知，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=40$m。
在Rt△AEF中，由勾股定理，得$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}$。
设桥拱的半径是r m，
则$r^{2}=40^{2}+(r-20)^{2}$。解得r=50。
答：桥拱的半径为50m。
(2) 如图7，设水位上涨后水面跨度MN为60m，MN交ED于点H，连接EM。
∵ MN//AB，EH⊥AB，∴ EH⊥MN。
由垂径定理知，$MH=NH=\frac{1}{2}MN=30$m。
在Rt△EMH中，由勾股定理，得$EM^{2}=MH^{2}+EH^{2}$。
又EM=50m，MH=30m，
∴ $EH=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=40$（m）。
∵ EF=50-20=30（m），
∴ HF=EH-EF=40-30=10（m）。
答：水位上涨的高度为10m。

答案：
(1) 设桥拱的圆心为$E$，过圆心$E$作$EF\perp AB$于点$F$，交$\overset{\frown}{AB}$于点$D$，则$DF = 20m$。
由垂径定理知，$AF = BF=\frac{1}{2}AB = 40m$。
在$Rt\triangle AEF$中，设桥拱的半径是$r m$，由勾股定理得$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}$，即$r^{2}=40^{2}+(r - 20)^{2}$。
展开式子：$r^{2}=1600+r^{2}-40r + 400$。
移项可得：$40r=2000$，解得$r = 50$。
答：桥拱的半径为$50m$。
(2) 设水位上涨后水面跨度$MN$为$60m$，$MN$交$ED$于点$H$，连接$EM$。
因为$MN// AB$，$EH\perp AB$，所以$EH\perp MN$。
由垂径定理知，$MH = NH=\frac{1}{2}MN = 30m$。
在$Rt\triangle EMH$中，已知$EM = 50m$，$MH = 30m$，由勾股定理得$EH=\sqrt{EM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}} = 40m$。
又因为$EF = 50 - 20 = 30m$，所以$HF = EH - EF = 40 - 30 = 10m$。
答：水位上涨的高度为$10m$。

1. 如图8，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3，则弦AB的长为(B)。

A.4
B.6
C.8
D.10

答案： 1.B

2. 如图9，⊙O的弦AB=$4\sqrt{3}$，M是AB的中点，OM=2，则∠OAB的度数为(A)。

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 2.A