《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

8. 如图14，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = 20\ cm$，$AC = 30\ cm$，点$P$从点$A$出发沿$AB$以$4\ cm/s$的速度向点$B$运动，同时，点$Q$从点$C$出发沿$CA$以$3\ cm/s$的速度向点$A$运动.设运动的时间为$x\ s$，连接$PQ$，$BQ$.
（1）当$x$为何值时，$PQ// BC$？
（2）$\triangle APQ$能否与$\triangle CQB$相似？若能，求出此时$AP$的长；若不能，请说明理由.

答案： 8.解:由已知,得AP = 4x cm,CQ = 3x cm,AQ = (30 - 3x)cm.
(1)若PQ//BC,则有$\frac{AP}{AB}$ = $\frac{AQ}{AC}$,即$\frac{4x}{20}$ = $\frac{30 - 3x}{30}$解得x = $\frac{10}{3}$.故当x = $\frac{10}{3}$时,PQ//BC.　
(2)△APQ能与△CQB 相似.
∵　AB = BC,
∴　∠A = ∠C.
∴　△APQ与△CQB 相似的情况有两种:①当△APQ∽△CQB时,有$\frac{AP}{CQ}$ = $\frac{AQ}{CB}$,即$\frac{4x}{3x}$ = $\frac{30 - 3x}{20}$.解得x = $\frac{10}{9}$
∴　AP = 4x = $\frac{40}{9}$(cm).②当△AQP∽△CQB时,有$\frac{AP}{CB}$ = $\frac{AQ}{CQ}$,即$\frac{4x}{20}$ = $\frac{30 - 3x}{3x}$.整理,得x² + 5x - 50 = 0.解得x₁ = 5,x₂ = -10(舍去).
∴　x = 5.
∴　AP = 4x = 20(cm).综上,△APQ能与△CQB 相似,此时AP的长为$\frac{40}{9}$cm或20cm.

相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
可简记为：三边成比例的两个三角形相似.

答案： 成比例　成比例

1. 已知甲三角形的三边长分别为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，乙三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$5$，则甲、乙两个三角形(A).

A.相似
B.不相似
C.不一定相似
D.全等

答案： 1.A

2. 如图1，两个三角形的关系是相似（填“相似”或“不相似”），理由是三边成比例的两个三角形相似.

答案： 2.相似　三边成比例的两个三角形相似

3. 在$\triangle ABC$中，$AB = 2\ cm$，$BC = 3\ cm$，$AC = 4\ cm$.小明想用$3$根木棒首尾相连拼成一个与$\triangle ABC$相似的三角形，他已经有两根长分别为$4\ cm$，$6\ cm$的木棒，第三根木棒的长度应为8cm.

答案： 3.8