《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

8. 探究与分析
【阅读材料】 如图17，我们把顶点分别在$\triangle OAB$的三条边上的等边三角形$C'D'E'$，称为$\triangle OAB$的“内接等边三角形”。下面是运用位似知识作$\triangle OAB$的“内接等边三角形”的具体步骤。
画法：
在$\triangle AOB$内画等边三角形$CDE$，使点$C$在$OA$上，点$D$在$OB$上；
连接$OE$并延长，交$AB$于点$E'$，过点$E'$作$E'C'// EC$，交$OA$于点$C'$，作$E'D'// ED$，交$OB$于点$D'$；
连接$C'D'$，则$\triangle C'D'E'$是$\triangle AOB$的内接等边三角形。
【解决问题】
求证：$\triangle C'D'E'$是等边三角形。
【类比探究】
求作：内接于已知$\triangle ABC$（如图18）的矩形$DEFG$，使它的边$EF$在$BC$上，顶点$D,G$分别在$AB,AC$上，且$DE:EF = 1:2$。

答案：
8.
(1)证明:
∵　E'C'//EC,E'D'//ED,
∴　△OCE∽△OC'E',△ODE∽△OD'E'.
∴　CE:C'E'=OE:OE',DE:D'E'=OE:OE',∠CEO=∠C'E'O,∠DEO=∠D'E'O.
∴　CE:C'E'=DE:D'E',∠CED=∠C'E'D'.
∴　△CDE∽△C'D'E'.又△CDE是等边三角形,
∴　△C'D'E'是等边三角形.　
(2)解:如图34,矩形DEFG即为所求.作法:①在△ABC内画矩形D'E'F'G',使点D'在AB上,点G'在AC 上,且D'E':D'G'=1:2;②连接AE'并延长,交BC于点E,连接AF'并延长,交BC于点F,过点E作ED'//E'D',交AB于点D,过点F作FG//F'G',交AC于点G;③连接DG,则矩形DEFG为所求作.

1. 位似图形中对应点的坐标特征：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $k(k ＞ 0)$，原图形上点的坐标为 $(x,y)$，那么位似图形对应点的坐标为(kx,ky)或(−kx,−ky)。

答案： 1.(kx,ky)或(−kx,−ky)

2. 在平面直角坐标系中，在作 $(x,y)\to(kx,ky)$ 变换时，当 $k ＞ 0$ 时，得到的图形是正向位似图形；当 $k ＜ 0$ 时，得到的图形是反向位似图形。

答案： 2.正　反

1. 如图 1，在平面直角坐标系中，有 $A(6,3)$，$B(6,0)$ 两点，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$，在第一象限内把线段 $AB$ 缩小后得到线段 $CD$，则点 $C$ 的坐标为(A)。

A.$(2,1)$
B.$(2,0)$
C.$(3,3)$
D.$(3,1)$

]

答案： 1.A

2. 如图 2，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位似，位似中心为原点 $O$。
(1)$\triangle ABC$ 在第二象限，$\triangle A'B'C'$ 在第四象限，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 是反(填“正”或“反”)向位似图形。
(2)若 $\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比为 $2$，点 $A'$ 的坐标为 $(2,-2)$，则点 $A$ 的坐标为(−1,1)。

答案： 2.
(1)二　四　反　
(2)(−1,1)