《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图 7，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $， $ E $ 分别在边 $ AB $， $ AC $ 上， $ DC $ 与 $ BE $ 相交于点 $ O $，且 $ OD = 2 $， $ OB = DC = 6 $， $ OE = 3 $。
(1) 求证： $ \triangle DOE \backsim \triangle COB $。
(2) 已知 $ AD = 5 $，求 $ AB $ 的长。

答案： 2.
(1)证明：
∵ OD = 2, DC = 6,
∴ OC = DC - OD =
4.
∴$ \frac{OD}{OC}=\frac{1}{2} $
∵ OE = 3, OB = 6,
∴$ \frac{OE}{OB}=\frac{1}{2} .$
∴$ \frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OB}. $又∠DOE = ∠COB,
∴ △DOE ∼ △COB.
(2)解：
∵ △DOE ∼ △COB,
∴ ∠ODE = ∠OCB.
∴ DE // BC.
∴ △ADE ∼ △ABC.
∴$ \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=$
$\frac{1}{2} $
∴ AD = 5,
∴ AB = 2AD = 2×5 = 10.

例 3
如图 11，在锐角三角形 $ ABC $ 中，点 $ D $， $ E $ 分别在边 $ AC $， $ AB $ 上，过点 $ A $ 作 $ AG \perp BC $ 于点 $ G $， $ AF \perp DE $ 于点 $ F $， $ \angle EAF = \angle CAG $。

(1) 求证： $ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $。
(2) 已知 $ AD = 3 $， $ AB = 6 $，求 $ \frac{AF}{AG} $ 的值。
思路点拨

mermaid
graph LR
A[∠EAF=∠CAG(已知)] --＞ B[∠AED=∠ACB]
C[∠AFE=∠AGC=90°] --＞ B
B --＞ D[公共角：∠EAD=∠CAB]
D --＞ E[△ADE∽△ABC]
E --＞ F[对应高的比等于相似比]
F --＞ G[AF/AG = AD/AB]
解
(1) 证明： $ \because AG \perp BC $， $ AF \perp DE $，
$ \therefore \angle AFE = \angle AGC = 90° $。
$ \therefore \angle AED = 90° - \angle EAF $， $ \angle ACB = 90° - \angle CAG $。
又 $ \angle EAF = \angle CAG $，
$ \therefore \angle AED = \angle ACB $。
又 $ \angle EAD = \angle CAB $，
$ \therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC $。
(2) 由 (1) 知 $ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $，
又 $ AF \perp DE $， $ AG \perp BC $， $ AD = 3 $， $ AB = 6 $，
$ \therefore \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $。

答案：
(1) 证明：
$\because AG \perp BC$，$AF \perp DE$，
$\therefore \angle AFE = \angle AGC = 90°$，
$\therefore \angle AED = 90° - \angle EAF$，$\angle ACB = 90° - \angle CAG$，
又$\angle EAF = \angle CAG$，
$\therefore \angle AED = \angle ACB$，
又$\angle EAD = \angle CAB$，
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$。
(2) 由
(1) 知$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，
又$AF \perp DE$，$AG \perp BC$，$AD = 3$，$AB = 6$，
$\therefore \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。