《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

用待定系数法确定二次函数表达式的基本思路：
(1)一般式 若给出函数图象上三个点的坐标或三组 $x$，$y$ 的值，则设函数表达式为 $y = ax^{2}+bx + c$；
(2)顶点式 若给出函数图象上两个点的坐标，且其中一个是顶点坐标，则设函数表达式为 $y = a(x + h)^{2}+k$；
(3)交点式 若给出函数图象上三个点的坐标，且其中两个点是函数图象与 $x$ 轴的交点坐标，则设函数表达式为 $y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$，其中 $x_{1}$，$x_{2}$ 是函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

答案： 上述内容为用待定系数法确定二次函数表达式的基本思路总结。

1. 抛物线 $y = 2x^{2}+c$ 的顶点坐标为 $(0,1)$，这个抛物线对应的函数表达式为(A)。

A.$y = 2x^{2}+1$
B.$y = 2x^{2}-1$
C.$y = 2x^{2}+2$
D.$y = 2x^{2}-2$

答案： 1.A

2. 图 1 中的抛物线与 $x$ 轴的交点坐标分别为 $($-1，$0)$，$($2，$0)$，则可设这个抛物线对应的函数表达式为 $y = a(x +$1$)(x -$2$)$；这个抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,2)$，则 $a =$-1。
]

答案： 2.-1 2 1 2 -1

3. 一个二次函数的图象经过 $(0,0)$，$(-1,-1)$，$(1,9)$ 三点，设这个二次函数的表达式为 $y = ax^{2}+bx + c$，将这三点坐标代入，得 $\begin{cases}c = 0, \\ a - \underline{\quad\quad} + \underline{\quad\quad} = -1, \\ a + b + c = \underline{\quad\quad} .\end{cases}$ 解得 ______ 。该二次函数的表达式为 ______ 。

答案： 3.b c 9 $\begin{cases}a = 4, \\b = 5, \\c = 0\end{cases}$ $y = 4x^2 + 5x$

例 1 已知一个二次函数的图象经过 $(-1,0)$，$(3,0)$，$(1,-8)$ 三点，求这个函数的表达式。
思路点拨

解 方法一(一般式)：
设这个二次函数的表达式为 $y = ax^{2}+bx + c$，
将 $(-1,0)$，$(3,0)$，$(1,-8)$ 代入，得 $\begin{cases}a - b + c = 0, \\ 9a + 3b + c = 0, \\ a + b + c = -8.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 2, \\ b = -4, \\ c = -6.\end{cases}$
故这个二次函数的表达式为 $y = 2x^{2}-4x - 6$。
方法二(顶点式)：
因为这个函数图象经过点 $(-1,0)$，$(3,0)$，
所以这个函数图象的对称轴为直线 $x=\frac{-1 + 3}{2}=1$，即点 $(1,-8)$ 是这个二次函数图象的顶点。
设这个二次函数的表达式为 $y = a(x - 1)^{2}-8$，
将 $(-1,0)$ 代入，得 $4a - 8 = 0$。解得 $a = 2$。
故这个二次函数的表达式为 $y = 2(x - 1)^{2}-8$，即 $y = 2x^{2}-4x - 6$。
方法三(交点式)：
因为函数图象过点 $(-1,0)$，$(3,0)$，$(1,-8)$ 三点，所以这个二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标分别为 $(-1,0)$，$(3,0)$。
设这个二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)(x - 3)$，
将 $(1,-8)$ 代入，得 $-4a = -8$。
解得 $a = 2$。
故这个二次函数的表达式为 $y = 2(x + 1)(x - 3)$，即 $y = 2x^{2}-4x - 6$。

答案： 方法一（一般式）：
设二次函数表达式为$y = ax^2 + bx + c$，将$(-1,0)$，$(3,0)$，$(1,-8)$代入得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\a + b + c = -8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = -4 \\ c = -6\end{cases}$，表达式为$y = 2x^2 - 4x - 6$。
方法二（顶点式）：
由$(-1,0)$，$(3,0)$得对称轴为$x = \frac{-1 + 3}{2} = 1$，顶点为$(1,-8)$。
设表达式为$y = a(x - 1)^2 - 8$，代入$(-1,0)$得：
$a(-1 - 1)^2 - 8 = 0 \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2$。
表达式为$y = 2(x - 1)^2 - 8 = 2x^2 - 4x - 6$。
方法三（交点式）：
由$(-1,0)$，$(3,0)$设表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，代入$(1,-8)$得：
$a(1 + 1)(1 - 3) = -8 \Rightarrow -4a = -8 \Rightarrow a = 2$。
表达式为$y = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$。
结论：二次函数表达式为$\boxed{y = 2x^2 - 4x - 6}$。