《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程。

答案： 解直角三角形需已知除直角外两个元素（至少一边），通过勾股定理、三角函数求未知元素。

2. 直角三角形中的边角关系：如图 1，Rt△ABC 共有六个元素(三条边，三个角)，其中∠C = 90°，那么其余五个元素(三边 a，b，c，两锐角 A，B)之间有如下关系。
(1)三边之间的关系：
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$(勾股定理)；
(2)锐角之间的关系：
∠A + ∠B = $90^{\circ}$；
(3)边角之间的关系：
sin A = $\frac{a}{c}$，cos A = $\frac{b}{c}$，tan A = $\frac{a}{b}$；
sin B = $\frac{b}{c}$，cos B = $\frac{a}{c}$，tan B = $\frac{b}{a}$。

答案： 知识梳理　2.
(1)$a^{2}+b^{2}=c^{2}$　
(2)$90^{\circ}$　
(3)$\frac{a}{c}$　$\frac{b}{c}$　$\frac{a}{b}$　$\frac{b}{c}$　$\frac{a}{c}$　$\frac{b}{a}$

1. 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = √3，AB = 2，则∠A 的度数为(C)。

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

答案： 课前自测　1.C

2. 已知在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 50°，AB = 10，那么 BC 的长为(A)。

A.10cos 50°
B.10sin 50°
C.10tan 50°
D.50cos 10°

答案： 课前自测　2.A

3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 10，那么 AB = 20，AC = $10\sqrt{3}$。

答案： 课前自测　3.20　$10\sqrt{3}$

例 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = √6，AB = 2√2。解这个直角三角形。
思路点拨

解 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = √6，AB = 2√2，
由勾股定理，得 BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = √2。
∵ cos A = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∠A 为锐角，∴ ∠A = 30°。
∴ ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°。

答案： 在 $Rt \bigtriangleup ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=\sqrt{6}$，$AB = 2\sqrt{2}$。
由勾股定理 $BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{8 - 6}=\sqrt{2}$。
因为 $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $\angle A$ 为锐角，所以 $\angle A = 30^{\circ}$。
则 $\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
综上，$BC=\sqrt{2}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$。