《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 如图 3，一条隧道的截面轮廓呈抛物线形，拱高 $ 6m $，跨度 $ 20m $。
(1) 建立适当的平面直角坐标系，求隧道抛物线形截面对应的函数表达式。
(2) 该隧道是双向行车道，正中间有一条宽 $ 2m $ 的隔离带。请你判断隧道的单向行车道上能否并排停放 $ 3 $ 辆宽 $ 2m $、高 $ 3m $ 的货车（每辆车的截面可看作宽 $ 2m $、长 $ 3m $ 的矩形，车辆间隔忽略不计），并说明理由。
思路点拨

隧道截面的轮廓为抛物线形，轮廓的顶点即为抛物线的顶点，建立平面直角坐标系，以顶点为原点建立模型 $ y = ax^2 $，交点式模型，利用二次函数的性质解决实际问题
解
方法一：(1) 如图 4，以顶点 $ C $ 为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线对应的函数表达式为 $ y = ax^2 $。

根据题意，得 $ A(-10, -6) $，$ B(10, -6) $。
把点 $ A(-10, -6) $ 代入 $ y = ax^2 $，得 $ -6 = 100a $。解得 $ a = -\frac{3}{50} $。
故抛物线对应的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{50}x^2 $。
(2) 能。理由如下：
假设 $ 3 $ 辆货车紧挨隔离带从左到右并排停放在隧道右边的单向车道上，记它们右边缘最高的点为 $ N $，则 $ N(7, -3) $。

当 $ x = 7 $ 时，$ y = -\frac{3}{50}×49 = -2.94 $。
∴ 点 $ N $ 在抛物线 $ y = -\frac{3}{50}x^2 $ 的下方。
故隧道的单向行车道上能并排停放 $ 3 $ 辆宽 $ 2m $、高 $ 3m $ 的货车。
方法二：(1) 如图 5，以 $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴，以 $ AB $ 中点为坐标原点 $ O $ 建立平面直角坐标系。

根据题意，得 $ A(-10, 0) $，$ B(10, 0) $，$ C(0, 6) $。
设抛物线对应的函数表达式为 $ y = a(x + 10)(x - 10) $。
将 $ C(0, 6) $ 代入 $ y = a(x + 10)(x - 10) $，得 $ 6 = -100a $。解得 $ a = -\frac{3}{50} $。
故抛物线对应的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{50}(x + 10)(x - 10) = -\frac{3}{50}x^2 + 6 $。
(2) 能。理由如下：
假设 $ 3 $ 辆货车紧挨隔离带从左到右并排停放在隧道右边的单向车道上，则它们右边缘到 $ y $ 轴的距离为 $ 1 + 3×2 = 7 $。
当 $ x = 7 $ 时，$ y = -\frac{3}{50}×49 + 6 = 3.06 ＞ 3 $。
故隧道的单向行车道上能并排停放 $ 3 $ 辆宽 $ 2m $、高 $ 3m $ 的货车。

答案： 方法一：
(1) 以顶点 $ C $ 为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为 $ y = ax^2 $。
由题意得 $ A(-10, -6) $，$ B(10, -6) $。
将 $ A(-10, -6) $ 代入 $ y = ax^2 $，得 $ -6 = 100a $，解得 $ a = -\frac{3}{50} $。
∴ 函数表达式为 $ y = -\frac{3}{50}x^2 $。
(2) 能。
3辆货车并排宽 $ 3 × 2 = 6 \, m $，隔离带宽 $ 2 \, m $，单向车道宽 $ \frac{20 - 2}{2} = 9 \, m $，$ 6 \leq 9 $。
右边缘到原点距离为 $ 1 + 6 = 7 \, m $，货车最高点纵坐标为 $ -3 $。
当 $ x = 7 $ 时，$ y = -\frac{3}{50} × 7^2 = -2.94 $。
∵ $ -3 ＜ -2.94 $，
∴ 点在抛物线下方，能停放。
方法二：
(1) 以 $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴，$ AB $ 中点为原点，设抛物线表达式为 $ y = a(x + 10)(x - 10) $。
由题意得 $ A(-10, 0) $，$ B(10, 0) $，$ C(0, 6) $。
将 $ C(0, 6) $ 代入，得 $ 6 = -100a $，解得 $ a = -\frac{3}{50} $。
∴ 函数表达式为 $ y = -\frac{3}{50}x^2 + 6 $。
(2) 能。
3辆货车并排宽 $ 6 \, m \leq 9 \, m $，右边缘到 $ y $ 轴距离为 $ 1 + 6 = 7 \, m $。
当 $ x = 7 $ 时，$ y = -\frac{3}{50} × 49 + 6 = 3.06 $。
∵ $ 3.06 ＞ 3 $，
∴ 能停放。