《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

7. 如图16，某渔船沿正东方向以$30n mile/h$的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，$20min$后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东$30^{\circ}$方向，已知岛C周围$25n mile$内有暗礁。（参考数据：$\sqrt{3}\approx 1.732$，$\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sin 75^{\circ}\approx 0.966$，$\cos 75^{\circ}\approx 0.259$）
（1）假设渔船继续向东航行，请判断有无触礁危险，并说明理由。
（2）假设渔船在B处改为向东偏南$15^{\circ}$方向航行，请判断有无触礁危险，并说明理由。

答案：
7.解：
(1)假设渔船继续向东航行，有触礁危险。
理由：如图49，过点C作CD⊥AB，垂足为D。
由题意，得∠CAD = 45°，∠CBD = 90° - 30° = 60°，AB = 30×$\frac{20}{60}$ = 10(nmile)。
设BD = xnmile，则AD = AB + BD = (10 + x)nmile。
在Rt△BDC中，CD = BD·tan60° = $\sqrt{3}$x(nmile)。
在Rt△ACD中，CD = AD·tan45° = (10 + x)nmile。
∴ $\sqrt{3}$x = 10 + x，
解得x = 5$\sqrt{3}$ + 5。
∴ CD = $\sqrt{3}$x = 15 + 5$\sqrt{3}$ ≈ 23.66(nmile)。
∵ 23.66nmile ＜ 25nmile，
∴ 假设渔船继续向东航行，有触礁危险。
(2)假设渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险。
理由：如图49，过点C作CE⊥BF，垂足为E。
由题意，得∠CBE = ∠CBD + 15° = 75°。
在Rt△BCD中，∠CBD = 60°，BD = (5$\sqrt{3}$ + 5)nmile，
∴ BC = $\frac{BD}{cos60°}$ = 2(10$\sqrt{3}$ + 10)nmile。
在Rt△CBE中，CE = BC·sin75° ≈ 26.4(nmile)。
∵ 26.4nmile ＞ 25nmile，
∴ 假设渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险。

1. 坡角：如图1，坡面与水平面的夹角叫做坡角，用$\alpha$表示。

答案： 1. 水平面

2. 坡度：如图1，坡面的铅直高度和水平长度的比叫做坡度或坡比，用字母$i$表示，即$i=$$\frac{h}{l}$。坡度与坡角的关系是$i=$$\tan \alpha$。

答案： 2.$\frac{h}{l}$ $\tan \alpha$

1. 某斜坡的坡度$i=1:1$，则它的坡角是(B)。

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 1.B

2. 如图2，有一斜坡$AB$，坡顶$B$离地面的高度$BC=30\mathrm{m}$，若坡度$i=1:2.5$，则此斜坡的水平距离$AC$为(A)。

A.$75\mathrm{m}$
B.$50\mathrm{m}$
C.$45\mathrm{m}$
D.$30\mathrm{m}$

答案： 2.A

3. 如图3，一山坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$，则$\angle BAC=$30$^{\circ}$。小明从$A$处爬到$B$处所走的直线距离$AB=100\mathrm{m}$，则他在垂直方向上升的高度$BC$为50$\mathrm{m}$。

答案： 3.30　50