《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

4. 如图 8，已知直线$a$ 和直线外的两点 $A$，$B$，经过 $A$，$B$ 作 $\odot O$，使它的圆心在直线 $a$ 上。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

答案：
4.解:如图82.
　　　　　　　　　　　　　　　　

5. 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角。

答案： 5.已知:在三角形ABC中,AB=AC.求证:∠B,∠C一定是锐角.证明:假设∠B,∠C不为锐角，则∠B,∠C为直角或钝角,即∠B=∠C≥90°.因为∠A＞0°,所以∠A+∠B+∠C＞90°+90°=180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾.所以假设不成立.故等腰三角形的底角一定是锐角.

6. (2022 广西玉林中考)如图 9，在 $5×7$ 网格中，各小正方形的边长均为 $1$，点 $O$，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 均在格点上，点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心。不添加其他字母，除 $\triangle ABC$ 之外，外心也是点 $O$ 的三角形有：△ABD,△ACD,△BCD。

答案： 6.△ABD,△ACD,△BCD　提示:由题意可得,OA=OB=OC=OD≠OE.因此以点A,B,C,D中任意三点为顶点的三角形的外心都是点O.

7. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，为更换管道，维修人员需确定管道截面圆的圆心和半径，图 10 是水平放置的破裂管道截面。
(1)请用直尺和圆规作图，确定圆心 $O$ 的位置。（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若这个管道有水部分的水面宽 $AB = 8\ cm$，水最深处的深度为 $2\ cm$，则这个圆形截面的半径是多少？

答案：
7.解:
(1)如图83.提示:作线段AB 的垂直平分线CD，垂足为点D,交AB于点C;连接AC,作线段AC的垂直平分线，与CD交于圆心O.　
(2)如图83,连接OA,设半径为rcm.由
(1)中作图知,AD=$\frac{1}{2}$AB=4cm,OD=(r−2)cm.在Rt△AOD中,$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，即$r^{2}=4^{2}+(r - 2)^{2}$，解得r=5.答:这个圆形截面的半径是5cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8. 如图 11，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\odot O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆，$S_{\triangle ABC} = 32$，$BC = 8$。
(1)求 $\odot O$ 的半径 $r$。

(2)求 $S_{\triangle ABO}$。

答案：
8.解:
(1)如图84,连接OC.
∵　AB=AC,OB=OC,
∴　点A,O在BC的垂直平分线上.延长AO交BC于点D,则D是BC的中点,AD⊥BC.
∵　$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=\frac{1}{2}AD· 8=32$,
∴　AD=8.在Rt△OBD中,BO=r,OD=8 - r,$BD=\frac{1}{2}BC=4$,$BO^{2}=OD^{2}+BD^{2}$,
∴　$r^{2}=(8 - r)^{2}+4^{2}$.解得r=5.
∴　⊙O的半径为5.
(2)由
(1)得AD=8,BD=4.
∴　$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$.如图84,过点O作OH⊥AB于点H.
∵　OA=OB,
∴　$BH=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{5}$.
∴　$OH=\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}$.
∴　$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB· OH=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}=10$.