《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图 7，把等边三角形 $ABC$ 绕其中心 $O$ 旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(C)。


A.$60^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图 8，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 36^{\circ}$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle AED$，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $F$，则 $\angle AFC$ 等于(A)。

A.$84^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 3.A　提示:由旋转的性质，得∠FAC=60°.又∠C=36°,所以∠AFC=180°−60°−36°=84°.

4. 用点 $O$ 标出图 9 中旋转对称图形的旋转中心。图①绕旋转中心点 $O$ 需至少旋转90$^{\circ}$ 能与原图形重合；图②绕旋转中心点 $O$ 需至少旋转60$^{\circ}$ 能与原图形重合。

答案：
4.如图58.　90　60

5. 如图 10，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ})$ 后，得到 $\triangle ADE$。
(1)旋转中心是点A。
(2)当点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上时，已知 $AB = 3$，$BC = 4$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，求旋转角 $\alpha$ 的度数和 $CD$ 的长。

答案： 5.
(1)A　
(2)解:由旋转的性质,得∠B=∠ADE,AB=AD.又∠ABD=60°,
∴　△ABD是等边三角形.
∴　BD=AB=3,∠BAD=60°.
∴　旋转角α的度数是60°,CD=BC−BD=4−3=1.

6. （教材第 10 页习题 24.1 第 4 题变式）方格纸上四边形 $ABCD$ 的位置如图 11，请在图中画出 3 个与四边形 $ABCD$ 全等但位置不同的四边形。

答案： 6.图略.提示:将四边形ABCD进行平移、轴对称或旋转变换后得到的四边形,均与四边形ABCD全等.

7. (2024 山东烟台中考)在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$ 为直线 $BC$ 上任意一点，连接 $AD$。将线段 $AD$ 绕点 $D$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得线段 $ED$，连接 $BE$。
【尝试发现】(1)如图 12，当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，线段 $BE$ 与 $CD$ 的数量关系为BE=$\sqrt{2}$CD。

【类比探究】(2)当点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上时，先在图 13 中补全图形，再探究线段 $BE$ 与 $CD$ 的数量关系并证明。
【联系拓展】(3)已知 $AC = BC = 1$，$CD = 2$，请直接写出 $\sin \angle ECD$ 的值。

答案：
7.
(1)BE=$\sqrt{2}$CD　提示:过点E作EM⊥CB于点M.由旋转的性质,得AD=DE、∠ADE=90°.
∴　∠ADC+∠MDE=90°.
∵　∠ACB=90°,
∴　∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°.
∴　∠CAD=∠MDE.
∴　△ACD≌△DME(AAS).
∴　CD=ME、AC=DM.
∵　AC=BC,
∴　BM=DM−BD=AC−BD=BC−BD=CD.
∴　BM=ME.
∵　EM⊥CB,
∴　BE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$CD.
(2)解:补全图形如图59(见下页),BE=$\sqrt{2}$CD.
证明:如图59(见下页),过点E作EM⊥BC于点M.由旋转的性质,得AD=DE,∠ADE=90°.
∴　∠ADC+∠MDE=90°.
∵　∠ACB=90°,
∴　∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°.
∴　∠CAD=∠MDE.在△ACD和△DME中,∠CAD=∠MDE,∠ACD=∠DME,AD=DE,
∴　△ACD≌△DME(AAS).
∴　CD=ME,AC=DM.
∵　AC=BC,
∴　DM=BC.
∴　DM−CM=BC−CM,即CD=BM.
∴　ME=BM.又
∵　EM⊥CB,
∴　BE=$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$CD.

(3)$\sin \angle ECD=\frac{2\sqrt{13}}{13}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.　提示:如图60，当点D在CB的延长线上时,过点E作EM⊥CB于点M,同
(2)可得DM=AC=1,ME=CD=2.
∴　CM=CD+DM=3.
∴　CE=$\sqrt{CM^{2}+ME^{2}}$=$\sqrt{13}$.
∴　$\sin \angle ECD=\frac{ME}{CE}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.如图61,当点D在BC的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M.同理可得DM=AC=1,ME=CD=2.
∴　CM=CD−DM=1.
∴　CE=$\sqrt{CM^{2}+ME^{2}}=\sqrt{5}$.
∴　$\sin \angle ECD=\frac{ME}{CE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.