《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $，$ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 和 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $。
（1）在图 1 所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这三个函数的图象。
(2)抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 的顶点坐标是$(-2, 0)$，对称轴是直线$x = -2$。
（3）对于函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $，当 $ x $$＜ 2$时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $$＞ 2$时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $$2$时，$ y $ 取得最大值，该值为$0$。
（4）函数 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 和函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ 的图象可看作是由函数 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 的图象分别经过怎样的平移得到的？
解 （1）列表如下。
| $ x $ | $ ·s $ | $ -4 $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ ·s $ |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ | $ ·s $ | $ -4 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ -4 $ | $ ·s $ |
| $ x $ | $ ·s $ | $ -6 $ | $ -4 $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 2 $ | $ ·s $ |
| $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ | $ ·s $ | $ -4 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ -4 $ | $ ·s $ |
| $ x $ | $ ·s $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ 6 $ | $ ·s $ |
| $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ | $ ·s $ | $ -4 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ -4 $ | $ ·s $ |
描点、连线如图 2。


（2）由图象可知，抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 的顶点坐标是 $ (-2, 0) $，对称轴是直线 $ x = -2 $。
（3）对于函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $，当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最大值，该值为 $ 0 $。
（4）抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位得到。抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向右平移 $ 2 $ 个单位得到。

答案： （2）由图象可知，抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 的顶点坐标是 $ (-2, 0) $，对称轴是直线 $ x = -2 $。
（3）对于函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $，当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最大值，该值为 $ 0 $。
（4）抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位得到。抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 向右平移 $ 2 $ 个单位得到。