《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 一斜坡的坡角为$45^{\circ}$，则其坡度为(C)。

A.$1:\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$1:1$
D.$1:2$

答案： 1.C

2. (跨学科)如图8，通过定滑轮的牵引，一个滑块沿坡角为$18^{\circ}$的斜坡向上移动了$15\mathrm{m}$，此时滑块上升的竖直高度是(D)。

A.$15\mathrm{m}$
B.$15\tan18^{\circ}\mathrm{m}$
C.$15\cos18^{\circ}\mathrm{m}$
D.$15\sin18^{\circ}\mathrm{m}$

答案： 2.D

3. 如图9，某村准备在坡度为$1:2$的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离$AC$为$4\mathrm{m}$，则这两棵树在坡面上的距离$AB$为$2\sqrt{5}$$\mathrm{m}$。

答案： 3.$2\sqrt{5}$

4. 某商场为了方便顾客使用购物车，将自动扶梯由坡角为$30^{\circ}$的坡面改为坡度为$1:3$的坡面。如图10，$BD$表示水平面，$AD$表示自动扶梯的铅直高度，改造后自动扶梯的坡面$AC=6\sqrt{10}\mathrm{m}$，则$AD=$6$\mathrm{m}$，$CD=$18$\mathrm{m}$；改造后电梯水平宽度增加部分$BC\approx$7.6$\mathrm{m}$(精确到$0.1\mathrm{m}$；参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$)。

答案： 4.6　18　7.6

5. 小亮和小强同时登山，小亮从北坡山脚$C$处出发，以$38\mathrm{m}/\mathrm{min}$的平均速度攀登，小强从南坡山脚$B$处出发。如图11，已知山北坡的坡度$i=1:2$，北坡长为$380\mathrm{m}$，南坡的坡角是$45^{\circ}$。问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶$A$？（将南坡、北坡的山路分别看作线段$AB$，$AC$。结果精确到$1\mathrm{m}/\mathrm{min}$，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{5}\approx2.24$）

答案： 5.解:过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ACD中，$\tan C = i$，即$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，则设AD=x，CD=2x.根据勾股定理，得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，即$x^{2}+(2x)^{2}=(380)^{2}$.解得$x = 76\sqrt{5}$(负值舍去).
∴　AD≈170.24m.在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴　$AB=\frac{AD}{\sin 45^{\circ}}\approx240(m)$.小亮登山所需时间为380÷38 = 10(min)，小强要和小亮同时到达山顶，则小强登山的平均速度为240÷10 = 24(m/min).答:小强以24m/min 的平均速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.

6. (2024四川眉山中考)如图12，斜坡$CD$的坡度$i=1:2$，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树$AB$，当太阳光与水平面的夹角为$60^{\circ}$时，大树在斜坡上的影子$BE$长为$10\mathrm{m}$，则大树$AB$的高为$4\sqrt{15}-2\sqrt{5}$$\mathrm{m}$。

答案：
6.$4\sqrt{15}-2\sqrt{5}$ 提示:如图50，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH=∠DCF.在Rt△BEH
　　　　　　　　　　　　　　　　　 中，$\tan \angle BEH=\frac{BH}{EH}=\tan \angle BCF=\frac{1}{2}$，设$BH = x m$，$EH = 2x m$，由勾股定理，得$BE=\sqrt{EH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{5}x(m)$.
∵　BE=10m，
∴　$x = 2\sqrt{5}$.由此可得，$BH = 2\sqrt{5}m$，$EH = 4\sqrt{5}m$.
∵　∠EAH = 180°−60°−90°=30°，
∴　$AH=\frac{EH}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3}EH = 4\sqrt{15}(m)$.
∴　$AB = AH - BH=(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})(m)$.故大树AB的高度为$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$m.

7. 现要对一段长$200\mathrm{m}$且横断面为梯形的大坝用土石进行加固。如图13，加固前大坝背水坡坡面从$A$至$B$共有$30$级阶梯，平均每级阶梯高$30\mathrm{cm}$，斜坡$AB$的坡度$i=1:1$；加固后，坝顶宽度增加$2\mathrm{m}$，斜坡$EF$的坡度$i=1:\sqrt{5}$。问这个工程共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果精确到$1\mathrm{m}^3$，参考数据：$\sqrt{5}\approx2.24$）

答案：
7.如图51，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，则四边形EGHA是矩形.
∴　EG=AH，GH=AE=2m.
∵　斜坡AB的坡度$i = 1:1$，
∴　AH=BH=30×30 = 900(cm)=9(m).
∴　EG=9m，BG=BH−GH=7(m).
∵　斜坡EF的坡度$i = 1:\sqrt{5}$，
∴　$FG = 9\sqrt{5}m$.
∴　$BF = FG - BG=(9\sqrt{5}-7)m$.
∴　$S_{梯形ABFE}=\frac{1}{2}(2 + 9\sqrt{5}-7)×9=\frac{81\sqrt{5}-45}{2}(m^{2})$.故$\frac{81\sqrt{5}-45}{2}×200\approx13644(m^{3})$.
　　　　　　
答:这个工程共需土石13644m³.