《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 如图3，在△ABC中，AC = 13，BC = 21，tan C = $\frac{12}{5}$，求∠B的正弦值和余弦值。
思路点拨

过点A作AD⊥BC构造直角三角形Rt△ACD、Rt△ABD，在Rt△ACD中tan C = $\frac{AD}{CD}$ = $\frac{12}{5}$，在Rt△ABD中sin B = $\frac{AD}{AB}$、cos B = $\frac{BD}{AB}$，由勾股定理列方程求边长。
解 如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ADC中，tan C = $\frac{AD}{CD}$ = $\frac{12}{5}$。
设AD = 12k，CD = 5k，k ＞ 0，
由勾股定理，得AD² + CD² = AC²，
即(12k)² + (5k)² = 13²。
解得k = 1。
∴ AD = 12，CD = 5。
∵ BC = 21，∴ BD = 21 - 5 = 16。
在Rt△ADB中，由勾股定理，得
AB = $\sqrt{12^{2} + 16^{2}}$ = 20。
∴ sin B = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{12}{20}$ = $\frac{3}{5}$，cos B = $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{16}{20}$ = $\frac{4}{5}$。

答案： 解：如图，过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，则$\angle ADB = \angle ADC = 90°$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{12}{5}$。
设$AD = 12k$，$CD = 5k$，$k ＞ 0$，
由勾股定理，得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即$(12k)^2 + (5k)^2 = 13^2$。
解得$k = 1$。
$\therefore AD = 12$，$CD = 5$。
$\because BC = 21$，
$\therefore BD = 21 - 5 = 16$。
在$Rt\triangle ADB$中，由勾股定理，得
$AB = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20$。
$\therefore \sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$。

1. 如图4，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = c，AC = b，BC = a，则下列各式正确的是(B)。

A.sin A = $\frac{b}{c}$
B.tan B = $\frac{b}{a}$
C.cos A = $\frac{a}{c}$
D.tan A = $\frac{a}{c}$

答案： 1.B

2. 如图5，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上。
(1)tan ∠ACB = 3，AC = $\sqrt{10}$。
(2)sin ∠ACB = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos ∠ACB = $\frac{\sqrt{10}}{10}$。

答案： 2.
(1)3 $\sqrt{10}$
(2)$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ 提示：过点A作AD⊥BC于点D.

3. 如图6，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，DE⊥AC于点E。设∠ADE = α，求cos α的值。

答案： 3.解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°.
∵ ∠α+∠CDE=90°.
∵ DE⊥AC，
∴ ∠CDE+∠DCE=90°.
∴ ∠α=∠ACD.在Rt△ACD中，CD=AB=6，AD=8，由勾股定理，得 $AC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.
∴ $\cos\angle ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
∴ $\cos\alpha=\frac{3}{5}$.