《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 如图 15，隧道的截面由抛物线和矩形构成，$ OC = AB = 8m $，$ OA = BC = 2m $，隧道的最高点 $ P $ 位于 $ AB $ 的中点的正上方，且与 $ AB $ 的距离为 $ 4m $。
(1) 请建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式。
(2) 已知这条隧道为单向通行，请判断一辆高 $ 4m $，宽 $ 3m $ 的货车能否从隧道内通过，并说明理由。

答案：
6.解:
(1)(建立坐标系的方法不唯一)如图21，以$O$为坐标原点，$OC$所在直线为$x$轴，$OA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表1m，则$A(0,2)$，$B(8,2)$，$C(8,0)$，$P(4,6)$.因为抛物线的顶点为$P(4,6)$，所以可设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 4)^2 + 6$.把$A(0,2)$代入，得$2 = 16a + 6$.解得$a = - \frac{1}{4}$.故抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{1}{4}(x - 4)^2 + 6$.
(2)货车能从隧道内通过.理由:令$y = 4$，则有$- \frac{1}{4}(x - 4)^2 + 6 = 4$.解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 4 - 2\sqrt{2}$.因为$x_1 - x_2 = 4\sqrt{2} ＞ 3$，所以货车能从隧道内通过.

7. 在全国消防安全宣传教育日，某区消防中队开展技能比赛。如图 16，考官分别在一幢废弃高楼的 $ M $，$ N $ 两处设置了火源，$ OM = 10m $，$ ON = 13m $。随后消防甲队来到高楼的正前方，估计高度后，消防员站在 $ A $ 处，拿着水枪距地面一定高度（点 $ C $）喷出水，水流划过一道抛物线，准确落在 $ M $ 处；待 $ M $ 处火熄灭后，消防员保持水枪距地面高度和喷水角度不变，向正前方移动到 $ B $ 处继续灭火，水流达到最高点后，落在 $ N $ 处。已知第一次水流在与楼房水平距离为 $ 2m $ 的点 $ P $ 处达到最大高度，最大高度为 $ 14m $。
(1) 根据图 16 中建立的平面直角坐标系，写出 $ P $，$ M $，$ N $ 三点的坐标。
(2) 求上述坐标系中水流 $ CPM $ 所在抛物线对应的函数表达式。
(3) 求消防员移动的距离。

答案： 7.解:
(1)$P(2,14)$，$M(0,10)$，$N(0,13)$.
(2)设水流$CPM$所在抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + 14$.将$M(0,10)$代入，得$10 = 4a + 14$.解得$a = -1$.故水流$CPM$所在抛物线对应的函数表达式为$y = - (x - 2)^2 + 14$.
(3)设移动的距离$AB$为$b$m，则水流$DN$所在抛物线对应的函数表达式为$y = - (x - 2 + b)^2 + 14$.将$N(0,13)$代入，得$13 = - (0 - 2 + b)^2 + 14$.解得$b_1 = 1$，$b_2 = 3$.因为水流$DN$所在抛物线的顶点在$y$轴的右侧，所以$b = 1$.故消防员移动的距离为$1$m.