《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

二次函数与一元二次方程的关系：
(1)对于二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $，其图象与 $ x $ 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的解。
(2)对于二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $，其图象与 $ x $ 轴的交点的个数取决于一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根的判别式 $ b^{2} - 4ac $ 的值：
①当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴有两个交点；
②当$b^2 - 4ac = 0$时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴有唯一个交点；
③当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴没有交点。

答案：
(1)横坐标　
(2)①$b^2 - 4ac ＞ 0$　②$b^2 - 4ac = 0$　③$b^2 - 4ac ＜ 0$

1. (2022 山东潍坊中考)抛物线 $ y = x^{2} + x + c $ 与 $ x $ 轴只有一个公共点，则 $ c $ 的值为(B)。

A.$ - \frac { 1 } { 4 } $
B.$ \frac { 1 } { 4 } $
C.$ - 4 $
D.$ 4 $

答案： 1.B

2. 在一元二次方程 $ x^{2} + x - 3 = 0 $ 中，判别式 $ b^{2} - 4ac $ 的值为13，则二次函数 $ y = x^{2} + x - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴有2个公共点。

答案： 2.13 2

3. 如图 1，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根是$x_1 = -1,x_2 = 3$。

答案： 3.$x_1 = -1,x_2 = 3$

- 例 1 已知抛物线 $ y = - x^{2} + 2x + 8 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧）。
（1）求 $ A $，$ B $ 两点的坐标。
（2）确定此抛物线与直线 $ y = - x + 6 $ 的交点的个数，并说明理由。
- 思路点拨

$ y = - x^{2} + 2x + 8 $ 令 $ y = 0 $ 得 $ - x^{2} + 2x + 8 = 0 $，解方程，得 $ A $，$ B $ 的坐标；$ y = - x^{2} + 2x + 8 $ 与 $ y = - x + 6 $ 联立得 $ - x^{2} + 2x + 8 = - x + 6 $，由判别式确定交点个数。
- 解
（1）当 $ y = 0 $ 时，$ - x^{2} + 2x + 8 = 0 $，解得 $ x_{1} = - 2 $，$ x_{2} = 4 $。因为点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧，所以 $ A ( - 2, 0 ) $，$ B ( 4, 0 ) $。
（2）此抛物线与直线 $ y = - x + 6 $ 有两个交点。理由：根据题意，列方程组，得
$\begin{cases}y = - x^{2} + 2x + 8 \\y = - x + 6\end{cases}$
即 $ - x^{2} + 2x + 8 = - x + 6 $，
整理，得 $ x^{2} - 3x - 2 = 0 $。
对于一元二次方程 $ x^{2} - 3x - 2 = 0 $，因为 $ b^{2} - 4ac = ( - 3 )^{2} - 4 × 1 × ( - 2 ) = 17 ＞ 0 $，所以此方程有两个不相等的实数根。因此方程组有两组解。
所以此抛物线与直线 $ y = - x + 6 $ 有两个交点。

答案： （1）当$y=0$时，$-x^{2}+2x+8=0$，
方程两边同时乘以$-1$得$x^{2}-2x-8=0$，
因式分解得$(x+2)(x-4)=0$，
则$x+2=0$或$x-4=0$，
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$。
因为点$A$在点$B$的左侧，
所以$A(-2,0)$，$B(4,0)$。
（2）联立方程组$\begin{cases}y=-x^{2}+2x+8 \\ y=-x+6\end{cases}$，
得$-x^{2}+2x+8=-x+6$，
移项整理得$x^{2}-3x-2=0$。
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-2$，
判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-2)=9 + 8=17＞0$，
所以方程有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点。