《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. 如图 13，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 均在 $\odot O$ 上，$\angle AOD=64^{\circ}$，$AO// DC$。求 $\angle B$ 的度数。

答案： 5.解：连接AD.
∵ AO//DC，
∴ ∠ODC = ∠AOD =
64°.
∵ OA = OD，
∴$ ∠ODA = ∠OAD = \frac{1}{2}(180° -$
$∠AOD) = \frac{1}{2}(180° - 64°) = 58°.$
∴ ∠ADC = ∠ODA +
∠ODC = 58° + 64° = 122°.
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接
四边形，
∴ ∠B = 180° - ∠ADC = 180° - 122° = 58°.

6. 如图 14，在 $\triangle ABC$ 中，以 $AB$ 为直径的半圆 $O$ 与 $AC$，$BC$ 的交点分别为点 $D$，$E$。
（1）已知 $\angle A=68^{\circ}$，求 $\angle CED$ 的度数。
（2）当 $DE=BE$ 时，求证：$\triangle ABC$ 为等腰三角形。

答案： 6.
(1)解：
∵ 四边形ABED是⊙O的内接四边形，又
∠CED是四边形ABED的外角，
∴ ∠CED = ∠A = 68°.
(2)证明：
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°.
∵ DE = BE，
∴ ∠EDB = ∠EBD.又∠CDE + ∠EDB =
90°，∠C + ∠EBD = 90°，
∴ ∠C = ∠CDE.
∵ ∠CDE为
⊙O内接四边形ABED的外角，
∴ ∠CDE = ∠ABC.
∴ ∠C = ∠ABC.
∴ △ABC为等腰三角形.

7. 探究与证明
【知识背景】希腊数学家克罗狄斯·托勒密提出的托勒密定理指出，圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和。
【知识运用】(1)如图 15，如果四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，那么 $AC· BD=AB· CD+$BC·AD。
【探究证明】(2)如图 16，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$\angle COD=120^{\circ}$。求证：$BD=AB+BC$。

答案： 7.
(1)BC·AD
(2)证明：连接AC.
∵ ∠COD是CD
所对的圆心角，而∠CBD，∠CAD是CD所对的圆周角，
∠COD = 120°，
∴$ ∠CBD = ∠CAD = \frac{1}{2}∠COD = 60°.$
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD = 60°.
∵ ∠ABD，∠ACD是AD所对的圆周角，
∴ ∠ACD =
∠ABD = 60°.
∴ △ACD是等边三角形.
∴ AC = AD =
CD.
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ AC·
BD = AB·CD + BC·AD.
∵ AC = AD = CD ≠ 0，
∴ BD = AB + BC.