《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图 12，AB // CD，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，AC，BD，EF 相交于点 O，则图中相似三角形共有(C)。

A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对

答案： 2.C

3. 如图 13，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边延长线上的点，连接 DE。有下列条件：① BC // DE，② ∠ABC = ∠D，③ AB = AC，添加其中一个条件，可判定△ABC ∽△ADE。这个条件可以是①②。(填序号)

答案： 3.①②

4. 图 14 是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B = ∠C = $90^{\circ}$，测得 BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m，则河宽 AB = 100m。

答案： 4.100 提示：由∠B = ∠C = 90°，得AB//CE.所以△ABD∽△ECD.则$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$，$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$，即$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$，解得AB = 100 m.

5. 如图 15，已知 BD 是△ABC 的角平分线，E 是 BD 延长线上的一点，AE = AB。
（1）求证：△ADE ∽△CDB。
（2）已知 AB = 6，DB = 4，DE = 5，求 CB 的长。

答案： 5.
(1) 证明：
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD.
∵ AB = AE，
∴ ∠ABD = ∠E.
∴ ∠E = ∠CBD.
∵ AE//BC.
∴ △ADE∽△CDB.
(2)解：
∵ AE = AB，AB = 6，
∴ AE = 6.
∵ △ADE∽△CDB，
∴ $\frac{AE}{CB}=\frac{DE}{DB}$.
∵ DB = 4，DE = 5，
∴ $\frac{6}{CB}=\frac{5}{4}$.
∴ CB=$\frac{24}{5}$.

6. 如图 16，方格纸上的小正方形的边长均为 1，点 A，B，C，D 都是小正方形的顶点，AD 与 BC 交于点 E，则 BE 的长是$\frac{5}{3}$。

答案： 6.$\frac{5}{3}$ 提示：由题图可知，AB = 2，CD = 4，BC =$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.由AB//CD，得△ABE∽△DCE.则$\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{2}{4}=\frac{BE}{5 - BE}$，解得BE=$\frac{5}{3}$.

7. 如图 17，在△ABC 中，CF ⊥ AB 于点 F，ED ⊥ AB 于点 D，G 为 AC 边上的点，∠1 = ∠2。
（1）求证：△AFG ∽△ABC。
（2）已知 BD = 3，BF = 5，BE = 4.5，AF = 3，求 FG 的长。

答案： 7.
(1) 证明：
∵ CF⊥AB，ED⊥AB，
∴ CF//ED.
∴ ∠1 = ∠BCF.
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠2 = ∠BCF.
∴ FG//BC.
∴ △AFG∽△ABC.
(2)解：
∵ CF//ED，
∴ $\frac{BD}{BF}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{3}{5}=\frac{4.5}{BC}$.
∴ BC = 7.5.
∵ AF = 3，BF = 5，
∴ AB = AF + BF = 8.
∵ △AFG∽△ABC，
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BC}$，即$\frac{3}{8}=\frac{FG}{7.5}$.
∴ FG=$\frac{45}{16}$.

8. 如图 18，已知 AD // EG // BC，EG 分别交 AB，DB，AC 于点 E，F，G。若 AD = 6，BC = 10，AE = 3，AB = 5，则 EG = 6，FG = 3.6。

答案： 8.6 3.6 提示：由题图可知，AB = 2，CD = 4，BC =$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.由AB//CD，得△ABE∽△DCE.则$\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{2}{4}=\frac{BE}{5 - BE}$，解得BE=$\frac{5}{3}$.由EG//BC，得△AEG∽△ABC.所以$\frac{EG}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{EG}{10}=\frac{3}{5}$.故EG = 6.由EF//AD，得△BEF∽△BAD.所以$\frac{EF}{AD}=\frac{BE}{BA}$.因为BE = BA - AE = 5 - 3 = 2，所以$\frac{EF}{6}=\frac{2}{5}$.所以EF = 2.4.故FG = EG - EF = 6 - 2.4 = 3.6.