《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

8. 如图10，正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$是$CD$的中点，连接$AE$，$P$是射线$AB$上异于点$A$的一点，过点$P$作线段$AE$的垂线段，垂足为$F$.
（1）求证：$\triangle PAF\backsim\triangle AED$.
（2）连接$PE$，请判断是否存在点$P$，使以$P$，$E$，$F$为顶点的三角形与$\triangle AED$相似.若存在，则求出$PA$的长；若不存在，则请说明理由.
小锦囊 第（2）问中，可设$PA = x$，用含$x$的代数式表示出$PF$，$EF$的长，再分类讨论两个三角形的相似情况，列出含$x$的比例式.

答案： 8.
(1)证明:
∵　四边形ABCD是正方形，
∴　∠D = 90°,CD//AB.
∴　∠AED = ∠PAF.
∵　PF⊥AE,
∴　∠PFA = ∠D = 90°.
∴　△PAF∽△AED.
(2)解:存在.设PA = x,x ＞ 0.
∵　AB = AD = DC = 4,E是CD的中点,
∴　DE = 2,AE = $\sqrt{AD² + DE²}$ = 2$\sqrt{5}$
∵　△PAF∽△AED,
∴　$\frac{PA}{AE}$ = $\frac{AF}{ED}$,即$\frac{x}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{AF}{2}$.
∴　AF = $\frac{\sqrt{5}}{5}$x.则EF = AE - AF = 2$\sqrt{5}$ - $\frac{\sqrt{5}}{5}$x,PF = $\sqrt{PA² - AF²}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$x.由题意可知,∠D = ∠EFP = 90°,当△ADE∽△EFP时,$\frac{EF}{AD}$ = $\frac{FP}{DE}$,即$\frac{2\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5}x}{4}$ = $\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{2}$,解得x = 2.当△ADE∽△PFE时,$\frac{EF}{ED}$ = $\frac{PF}{AD}$,即$\frac{2\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5}x}{2}$ = $\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{4}$,解得x = 5.综上所述，满足条件的PA的长为2或5.

相似三角形的性质：
定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
定理 2 相似三角形周长的比等于相似比.
定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

答案： 相似比　相似比　相似比的平方

1. 如果两个相似三角形的相似比为 $1:9$，那么它们对应中线之比是(C).

A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:9$
D.$1:81$

答案： 1.C

2. 若两个相似三角形的周长比是 $1:2$，则它们的相似比是(B).

A.$1:1$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$

答案： 2.B

3. 已知 $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$AB = 5$，$DE = 2$.
(1) 若 $AM$ 是 $BC$ 边上的高，$DN$ 是 $EF$ 边上的高，则 $\frac{AM}{DN} =$$\frac{5}{2}$.
(2) 若 $BP$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线，$EG$ 是 $\triangle DEF$ 的角平分线，则 $\frac{BP}{EG} =$$-\frac{5}{2}$.
(3) 设 $S_1$，$S_2$ 分别为 $\triangle ABC$，$\triangle DEF$ 的面积，则 $S_1:S_2 =$$\frac{25}{4}$.

答案： 3.
(1)$\frac{5}{2}$　
(2)$-\frac{5}{2}$　
(3)25:4(或$\frac{25}{4}$)