《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 $ OA $ 喷出，$ OA = 1m $。根据某方向上水流的抛物线路径的形状建立图 6 所示的平面直角坐标系，当水流与水管 $ OA $ 的水平距离为 $ 1m $ 时，水流达到最高点 $ B $，最大高度为 $ 3m $，则该水流的抛物线路径对应的函数表达式为(D)。


A.$ y = 3(x - 1)^2 + 1 $
B.$ y = -(x - 1)^2 + 3 $
C.$ y = -4(x + 1)^2 + 3 $
D.$ y = -2(x - 1)^2 + 3 $

答案： 1.D

2. 如图 7，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 $ 2m $ 时，水面宽度为 $ 4m $；那么当水位上升 $ 1m $ 后，水面的宽度为$2\sqrt{2}$m。

答案： 2.$2\sqrt{2}$

3. 某大学的校门是图 8 所示的抛物线形水泥建筑物，已知大门的地面宽度为 $ 8m $，两侧距地面 $ 4m $ 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 $ 6m $。求校门的最高点与地面的距离。（精确到 $ 0.1m $，水泥建筑物厚度忽略不计）

答案：
3.解:以地面为$x$轴，垂直于地面且过大门最高点的直线为$y$轴，建立图20所示的平面直角坐标系.由题意可知，抛物线经过点$A(4,0)$，$B(3,4)$，顶点$C$在$y$轴上.设抛物线对应的函数表达式为$y = ax^2 + c$，把$A(4,0)$，$B(3,4)$代入，得$\begin{cases}16a + c = 0\\9a + c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - \frac{4}{7}\\c = \frac{64}{7}\end{cases}$.
故抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{4}{7}x^2 + \frac{64}{7}$，顶点$C$的坐标为$(0,\frac{64}{7})$，$\frac{64}{7} \approx 9.1$.答:校门的最高点与地面的距离约为$9.1$m.