《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

3. 如图 4，矩形的窗户分成上、下两部分，用 $ 9 \mathrm { ~m } $ 长的铝合金边框制作这个窗户的窗框（包括中间档）。设窗户的宽为 $ x \mathrm { ~m } $，面积为 $ y \mathrm { ~m } ^ { 2 } $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是y = -$\frac{3}{2}$x² + $\frac{9}{2}$x。要使制作的窗户面积最大，那么窗户的宽是$\frac{3}{2}$ $ \mathrm { ~m } $，窗户的最大面积是$\frac{27}{8}$ $ \mathrm { ~m } ^ { 2 } $。

答案： 3.y = -$\frac{3}{2}$x² + $\frac{9}{2}$x - $\frac{3}{2}$ = $\frac{27}{8}$

4. 某超市销售一种商品，每件成本为 $ 50 $ 元。经调查发现，这种商品每月的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)之间满足函数关系式 $ y = - 5 x + 550 $。若要求这种商品的销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，则此商品销售单价应为80 元，每月的最大利润为4500 元。

答案： 4.80　4500

5. 如图 5（单位：$ \mathrm { ~m } $），有一块矩形油菜花地，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花。设改造后剩余油菜花地所占面积为 $ y \mathrm { ~m } ^ { 2 } $。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
（2）已知 $ 0.5 \leq x \leq 1 $，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值。

答案： 5.解：
(1)根据题意，得y = (8 - x)(6 - x) = x² - 14x + 48(0 ＜ x ＜ 6).
(2)由y = x² - 14x + 48 = (x - 7)² - 1，得当0.5 ≤ x ≤ 1时，y随x的增大而减小.故当x = 0.5时，y的值最大，最大值为(0.5 - 7)² - 1 = 41.25.答：改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为41.25m².

6. 某食品零售店新上架一款冷冻食品，每个成本为 $ 8 $ 元。在销售过程中，每天的销售量 $ y $(个)与销售价格 $ x $(元/个)的关系如图 6，当 $ 10 \leq x \leq 20 $ 时，其图象是线段 $ A B $。此食品零售店每天销售这款冷冻食品的最大利润为121 元。

答案： 6.121　提示：由题图可知，直线AB过点(10，20)，(20，10).由此可求得，当10 ≤ x ≤ 20时，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的函数表达式为y = -x + 30.设此食品零售店每天销售这款冷冻食品的利润为w元，根据题意，得w = (x - 8)y = (x - 8)(-x + 30) = -x² + 38x - 240 = -(x - 19)² + 121.故当x = 19时，w取得最大值，最大值为121.

7. 为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为 $ 40 \mathrm { ~m } $ 的篱笆围成一个矩形菜地 $ A B C D $，且分成了图 7 所示的 $ 3 $ 块矩形区域①②③，这 $ 3 $ 块矩形区域的面积相等。
（1）求 $ A E : E B $ 的值。
（2）设 $ B C $ 的长为 $ x \mathrm { ~m } $，矩形 $ A B C D $ 的面积为 $ y \mathrm { ~m } ^ { 2 } $。求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
（3）在（2）的条件下，当 $ x $ 为何值时，矩形 $ A B C D $ 的面积最大？最大面积是多少？
小锦囊 由题意可得矩形 $ A E F D $ 与矩形 $ B C F E $ 的面积比，从而可得 $ A E $ 与 $ E B $ 的比。由比值设出未知数，根据周长公式推出 $ E B $ 与 $ B C $ 的长度关系，即可用含 $ x $ 的代数式表示出 $ A B $ 的长。

答案： 7.解：
(1)
∵ 三块矩形区域的面积相等，
∴ 矩形AEFD的面积是矩形BCFE的2倍，即AE·EF = 2EB·EF.
∴ AE = 2EB.
∴ AE:EB = 2:1.
(2)设EB = a m，则AE = 2a m.根据题意，得8a + 2x = 40.
∴ a = -$\frac{1}{4}$x + 5，即AB = 3a = (-$\frac{3}{4}$x + 15)m.
∴ y = (-$\frac{3}{4}$x + 15)x = -$\frac{3}{4}$x² + 15x.
∵ a = -$\frac{1}{4}$x + 5 ＞ 0，
∴ x ＜ 20.故y与x之间的函数表达式为y = -$\frac{3}{4}$x² + 15x(0 ＜ x ＜ 20).
(3)
∵ y = -$\frac{3}{4}$x² + 15x = -$\frac{3}{4}$(x - 10)² + 75(0 ＜ x ＜ 20)，
∴ 当x = 10时，y有最大值，最大值为75.答：当x = 10时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为75m².