《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

互余两角的正(余)弦值的关系:若∠α是锐角,则
sin α=cos($90^{\circ}-\alpha$ ),
cos α=sin($90^{\circ}-\alpha$ ).

答案： 知识梳理 $90^{\circ}-\alpha$ $90^{\circ}-\alpha$

1. 已知α,β是锐角,且 sin α=cos β,则α+β的值是(D).

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 课前自测 1.D

2. 已知∠A是锐角,且 $\cos A=\frac{2}{3}$,那么 $\sin(90^{\circ}-A)=$$\frac{2}{3}$.

答案： 课前自测 2.$\frac{2}{3}$

例 已知α为锐角, $\sin \alpha+\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$,则α=60$^{\circ}$.
思路点拨
$\sin \alpha+\cos (90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$
$\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}$
→ $\sin \alpha+\sin \alpha=\sqrt{3}$
→ $\sin \alpha$
→α的值
解
∵ $\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}$,α为锐角,
∴ $\sin \alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)$.
∵ $\sin \alpha+\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$,
∴ $2\sin \alpha=\sqrt{3}$.∴ $\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴ $\alpha=60^{\circ}$.
答案

60

答案：
例 已知α为锐角, $\sin \alpha+\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$,则α=60$^{\circ}$.思路点拨$\sin \alpha+\cos (90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$$\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}$→ $\sin \alpha+\sin \alpha=\sqrt{3}$→ $\sin \alpha$→α的值解
∵ $\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}$,α为锐角,
∴ $\sin \alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)$.
∵ $\sin \alpha+\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sqrt{3}$,
∴ $2\sin \alpha=\sqrt{3}$.
∴ $\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴ $\alpha=60^{\circ}$.答案60

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, $\cos A=\frac{5}{13}$,则 $\sin B$ 的值为(C).

A.$\frac{13}{5}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{5}{13}$
D.$\frac{5}{12}$

答案： 当堂检测 1.C

2. 已知α是锐角,且 $\sin \alpha=\cos 28^{\circ}$,则α的度数是(B).

A.$38^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$52^{\circ}$
D.$72^{\circ}$

答案： 当堂检测 2.B

3. 如图 1,在平面直角坐标系中,已知 $\sin \alpha=0.625$,则 $\cos \beta=$0.625.

答案： 当堂检测 3.0.625

1. 若α为锐角,且 $\sin(90^{\circ}-\alpha)=\frac{2}{7}$,则 $\cos \alpha$ 的值为(B).

A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{7}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{15}$

答案： 课后达标 1.B

2. 已知 $0^{\circ}＜\alpha＜70^{\circ}$,且 $\sin(70^{\circ}-\alpha)=\cos 50^{\circ}$,则α的度数是(B).

A.$20^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 课后达标 2.B