《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例2 如图2，在$\triangle ABC$和$\triangle ADB$中，$\angle ABC = \angle D = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$AB = 4$.当$BD$的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
思路点拨
mermaid
graph TD
A[∠ABC=∠D=90°] --＞ B[BD/CB = AB/AC]
A --＞ C[BD/AB = AB/CA]
B --＞ D[△DBA∽△BCA]
C --＞ E[△DBA∽△BAC]
解 在$ Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$CB = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$.
由题意，知$\angle ABC = \angle D = 90^{\circ}$，
故可分以下两种情况进行讨论：
①当$\frac{BD}{CB} = \frac{AB}{AC}$时，$\triangle DBA\backsim\triangle BCA$，即$\frac{BD}{3} = \frac{4}{5}$，解得$BD = \frac{12}{5}$.
②当$\frac{BD}{AB} = \frac{AB}{CA}$时，$\triangle DBA\backsim\triangle BAC$，即$\frac{BD}{4} = \frac{4}{5}$，解得$BD = \frac{16}{5}$.
综上所述，当$BD$的长是$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$时，图中的两个直角三角形相似.

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，
由勾股定理，得$CB = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$，
由题意，知$\angle ABC= \angle D = 90^{\circ}$，
当$\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC}$时，
则$\bigtriangleup DBA \backsim \bigtriangleup BCA$，
即$\frac{BD}{3} = \frac{4}{5}$，
解得$BD = \frac{12}{5}$；
当$\frac{BD}{AB} = \frac{AB}{AC}$时，
$\bigtriangleup DBA \backsim \bigtriangleup BAC$，
即$\frac{BD}{4} = \frac{4}{5}$，
解得$BD = \frac{16}{5}$，
综上所述，
当$BD$的长是$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$时，
图中的两个直角三角形相似。

1. 下列说法正确的是(C).

A.等腰三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰直角三角形都相似
D.钝角三角形都相似

答案： 1.C

2. 如图3，在$\triangle ABC$中，$AB\perp BC$，$BC = 3$，$AC = 6$；在$\triangle FED$中，$FE\perp DE$，$FE = \sqrt{3}$，$DE = 1$.
(1)$DF =$2，$\triangle ABC$与$\triangle FED$相似(填“相似”或“不相似”).
(2)已知$\angle A = 30^{\circ}$，则$\angle D =$60$^{\circ}$.

答案： 2.
(1)2　相似　
(2)60

3. 如图4，已知$\angle ACB = \angle CBD = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AC = 4$，$CD = \frac{15}{4}$.
求证：$\triangle CDB\backsim\triangle ABC$.

答案： 3.证明:根据题意可知,△CDB,△ABC均为直角三角形,由勾股定理，得AB = $\sqrt{BC² + AC²}$ = $\sqrt{3² + 4²}$ = 5.则$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{3}{4}$,$\frac{CD}{AB}$ = $\frac{3}{4}$,
∴　$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{CD}{AB}$
∴　△CDB∽△ABC.(也可求出BD的长，由判定定理2得出结论)