《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

判定两个直角三角形相似的特殊方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

答案： 斜　直角　斜　直角

1. 已知一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为$1$，$3$，另一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为$3$，$9$，则这两个直角三角形(A).

A.相似
B.不相似
C.不一定相似
D.全等

答案： 1.A

2. 下列说法不正确的是(B).

A.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
B.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
C.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似

答案： 2.B

3. 在$ Rt\triangle ABC$和$ Rt\triangle DEF$中，$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$.有下列条件：①$\angle A = 55^{\circ}$，$\angle D = 55^{\circ}$，②$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$.添加其中一个条件后，可判定$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，这个条件可以是①②.(填序号)

答案： 3.①②

例1 如图1，已知$AB\perp BD$于点$B$，$ED\perp BD$于点$D$，$C$是线段$BD$的中点，且$DE = 1$，$AC = 2\sqrt{5}$，$BD = 4$. 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle CDE$.
思路点拨

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graph TD
A[Rt△ABC] --＞ B[AC=2√5, BC=1/2 BD]
C[Rt△CDE] --＞ D[DE=1, CD=1/2 BD]
B --＞ E[AC/CE = BC/DE]
D --＞ E
E --＞ F[△ABC∽△CDE]
证明 $\because C$是线段$BD$的中点，$BD = 4$，
$\therefore BC = CD = 2$.
$\because AB\perp BD$，$ED\perp BD$，
$\therefore \angle B = \angle D = 90^{\circ}$.
在$ Rt\triangle CDE$中，由勾股定理，得
$CE = \sqrt{CD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$.
在$ Rt\triangle ABC$和$ Rt\triangle CDE$中，
$\frac{AC}{CE} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$，$\frac{BC}{DE} = \frac{2}{1} = 2$，
即$\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{DE}$.
$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle CDE$.
易错提示 直角三角形相似的判定定理只对直角三角形成立，对其他三角形不成立.

答案： 证明：
$\because C$是线段$BD$的中点，$BD = 4$，
$\therefore BC = CD = 2$，
$\because AB \perp BD$，$ED \perp BD$，
$\therefore \angle B = \angle D = 90°$，
在$Rt \triangle CDE$中，由勾股定理，得：
$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
在$Rt \triangle ABC$和$Rt \triangle CDE$中，
$\frac{AC}{CE} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$，
$\frac{BC}{DE} = \frac{2}{1} = 2$，
即：
$\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{DE}$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle CDE$。