《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例1 如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，∠APE=30°，过点A作AC⊥PE于点C，连接AM.
(1)求∠AMC的度数.
(2)若⊙O的半径为2，求AC的长.
思路点拨 (1)连接圆心O与切点M，构造直角三角形，结合三角形的性质，进行角度间的等量代换，即可得结论.
(2)AC是Rt△APC的直角边，且已知∠P=30°，则求出AP即可得出AC长.观察图象，可知AP=OA+OP，则求出OP即可得结论.
解 (1)如图1，连接OM.
∵ PE切⊙O于点M，
∴ OM⊥PC，
即∠OMP=∠OMC=90°.
∵ ∠P=30°，∴ ∠MOP=60°.
∵ OA=OM，∴ ∠OAM=∠OMA.
∵ ∠MOP=∠OAM+∠OMA=2∠OMA，
∴ ∠OMA=30°.
∴ ∠AMC=90°-30°=60°.
(2)∵ OM⊥PC，∠P=30°，OM=2，
∴ OP=2OM=4.
∴ AP=OA+OP=2+4=6.
∵ AC⊥PE，∠P=30°，
∴ AC=$\frac{1}{2}$AP=3.

答案：
(1)60°；
(2)3。

1. 如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，DE⊥AB，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.
(1)求证：∠FED=2∠DAC.
(2)已知∠DAC=30°，⊙O的半径是3，求AE的长.

答案：
(1)证明：连接OE.
∵ EF是⊙O的切线，
∴ ∠OEF = 90°.
∵ D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ ∠DAC = ∠BAD.
∵ DE ⊥ AB，
∴ BE = BD，
∴ ∠EAB = ∠BAD，
∴ ∠EAB = ∠DAC.
∵ ∠EOB + ∠OED = 90°，∠OED + ∠FED = 90°，
∴ ∠EOB = ∠FED.
∵ ∠EOB = 2∠EAB，
∴ ∠FED = 2∠DAC.
(2)解：
∵ ∠FED = 2∠DAC，∠DAC = 30°，
∴ ∠FED = 60°，∠EAB = ∠DAC = 30°，
∴ ∠EOB = 2∠EAB = 60°.
∵ ∠OEF = 90°，
∴ ∠EFA = 90° - ∠EOB = 30°，
∴ ∠EAF = ∠EFA，
∴ AE = EF.
∵ OE = 3，
∴ AE = EF = OE · tan 60° = 3$\sqrt{3}$.