《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
可简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 成比例　相等　成比例　相等

1. 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 80^{\circ}$，$\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$；在$\triangle A'B'C'$中，$\angle A' = 80^{\circ}$，$\frac{A'B'}{A'C'} = \frac{1}{2}$.$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$(C).

A.全等
B.不相似
C.相似
D.不一定相似

答案： 1.C

2. 如图1，点$D$在$\triangle ABC$的$AC$边上，已知$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}$，又$\angle BAD = \angle$CAB，则可判定$\triangle ABD\backsim\triangle ACB$，依据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 2.CAB　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

3. 如图2，$AB$与$CD$相交于点$O$，$OA = 3$，$OB = 6$，$OD = 8$，当$OC =$4时，$\triangle AOC\backsim\triangle BOD$.

答案： 3.4

例 如图3，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 7$，$AD = 2$，$BC = 3$.$P$是$AB$边上的一点且不与点$A$，$B$重合，连接$DP$，$CP$.请判断是否存在点$P$，使得以$P$，$A$，$D$为顶点的三角形与以$P$，$B$，$C$为顶点的三角形相似.若存在，则求出$AP$的长；若不存在，则请说明理由.

思路点拨

mermaid
graph TD
A[∠A=∠B=90°] --＞ B[AD/BP = AP/BC]
A --＞ C[AD/BC = AP/BP]
B --＞ D[△DAP∽△PBC]
C --＞ E[△DAP∽△CBP]
解 存在.设$AP = x$，$x ＞ 0$.
$\because AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle B = \angle A = 90^{\circ}$.
当$\frac{AD}{BP} = \frac{AP}{BC}$时，$\triangle DAP\backsim\triangle PBC$.
$\because AB = AP + BP = 7$，$AD = 2$，$BC = 3$，
$\therefore \frac{2}{7 - x} = \frac{x}{3}$，即$-x^{2} + 7x - 6 = 0$.
解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 6$.
$\therefore AP = 1$或$AP = 6$.
当$\frac{AD}{BC} = \frac{AP}{BP}$时，$\triangle DAP\backsim\triangle CBP$.
$\because AB = AP + BP = 7$，$AD = 2$，$BC = 3$，
$\therefore \frac{2}{3} = \frac{x}{7 - x}$.解得$x = \frac{14}{5}$.
$\therefore AP = \frac{14}{5}$.
综上所述，当$\triangle DAP\backsim\triangle PBC$时，$AP = 1$或$AP = 6$；当$\triangle DAP\backsim\triangle CBP$时，$AP = \frac{14}{5}$.
易错提示 当无法确定两个相似三角形的对应点时，需要进行分类讨论.

答案： 存在，$AP$的长为$1$或$6$或$\frac{14}{5}$。
设$AP = x$，$x\gt0$。
因为$AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle B = \angle A = 90^{\circ}$。
当$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$时，$\triangle DAP\sim\triangle PBC$。
因为$AB = AP + BP = 7$，$AD = 2$，$BC = 3$，所以$\frac{2}{7 - x}=\frac{x}{3}$，即$-x^{2}+7x - 6 = 0$。
因式分解得$(x - 1)(x - 6)=0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 6$。
所以$AP = 1$或$AP = 6$。
当$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{BP}$时，$\triangle DAP\sim\triangle CBP$。
因为$AB = AP + BP = 7$，$AD = 2$，$BC = 3$，所以$\frac{2}{3}=\frac{x}{7 - x}$，
交叉相乘得$2(7 - x)=3x$，
$14-2x = 3x$，
$5x = 14$，
解得$x=\frac{14}{5}$。
所以$AP=\frac{14}{5}$。
综上，当$\triangle DAP\sim\triangle PBC$时，$AP = 1$或$AP = 6$；当$\triangle DAP\sim\triangle CBP$时，$AP=\frac{14}{5}$。