《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

3. (2023 北京中考)如图 7，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥ BC 于点 D，AE 是⊙O 的切线，AE 交 OC 的延长线于点 E。若∠AOC = 45°，BC = 2，则线段 AE 的长为$\sqrt{2}$。

答案： 3.$\sqrt{2}$

4. (2024 甘肃临夏中考)如图 8，直线 l 与⊙O 相切于点 D，AB 为⊙O 的直径，过点 A 作 AE ⊥ l 于点 E，延长 AB 交直线 l 于点 C。
(1)求证：AD 平分∠CAE。
(2)已知 BC = 1，DC = 3，求⊙O 的半径。

答案： 4.
(1)证明：连接OD.
∵ 直线l与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥CE.又
∵ AE⊥CE，
∴ OD//AE.
∴ ∠ODA = ∠EAD.
∵ OA = OD，
∴ ∠ODA =
∠OAD.
∴ ∠OAD = ∠EAD.
∴ AD平分∠CAE.
(2)解：设⊙O的半径为r，则OB = OD = r.在
Rt△OCD中，OD = r,CD = 3,OC = r + 1,
∴ r² + 3² = (r +
1)².解得r = 4.
∴ ⊙O的半径为4.

1. 如图 9，AB 与⊙O 相切于点 B，若⊙O 的半径为 2，AB = 3，则 AO 的长为(C)。


A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{11}$
C.$\sqrt{13}$
D.4

答案： 1.C

2. 如图 10，在□ABCD 中，以边 BC 为直径的⊙O 与边 AD 相切于点 A，则∠B 的度数为(C)。

A.60°
B.55°
C.45°
D.30°

答案： 2.C

3. 如图 11，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，连接 OA，OB，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，连接 CD，AD。若∠ADC = 30°，OC = 1，则 AB 的长为(B)。


A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4

答案： 3.B

4. (2022 山东泰安中考)如图 12，在△ABC 中，∠B = 90°，⊙O 过点 A，C，与 AB 交于点 D，与 BC 相切于点 C。若∠A = 32°，则∠ADO =64°。

答案： 4.64

5. 如图 13，BE 是⊙O 的直径，A，D 是⊙O 上的两点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 的延长线于点 C。
(1)已知∠ADE = 28°，求∠C 的度数。
(2)已知 AC = 6，CE = 3，求⊙O 半径的长。

答案： 5.解：
(1)连接OA.
∵ ∠ADE = 28°，
∴ ∠AOC =
2∠ADE = 56°.
∵ AC切⊙O于点A，
∴ ∠OAC = 90°.
∴ ∠C = 180° - ∠AOC - ∠OAC = 180° - 56° - 90° = 34°.
(2)设OA = OE = r，则OC = r + 3.在Rt△OAC中，由勾
股定理，得OA² + AC² = OC²，即r² + 6² = (r + 3)².解得r =
4.5.故⊙O半径的长是4.5.