《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图11，A，B分别是一个湖的南、北两端，村庄C，D分别位于A，B的正东方向，$CD=6km$，且D位于C的北偏东$30^{\circ}$方向上，则AB的长为(B)。


A.$2\sqrt{3}km$
B.$3\sqrt{3}km$
C.$\sqrt{6}km$
D.$3km$

答案： 2.B

3. 如图12，小明从A地沿北偏东$30^{\circ}$方向走$100\sqrt{3}m$到B地，再从B地向正南方向走$200m$到C地，此时小明与A地的距离为100$m$。

答案： 3.100

4. (2023四川眉山中考)如图13，一艘渔船在海上点A处测得灯塔C在它的北偏东$60^{\circ}$方向，渔船向正东方向航行$12n mile$到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东$45^{\circ}$方向。若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是6$\sqrt{3}$ + 6$n mile$。(结果保留根号)

答案： 4.6$\sqrt{3}$ + 6
提示：过点C作CH⊥AB于点H。根据题意可知，∠CAH = 30°，∠CBH = 45°。
在Rt△BCH中，CH = BH。
在Rt△ACH中，AH = AB + BH = 12 + CH，tan30° = $\frac{CH}{AH}$，即$\frac{CH}{12 + CH}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得CH = 6$\sqrt{3}$ + 6。
故渔船与灯塔C的最短距离是(6$\sqrt{3}$ + 6)nmile。

5. 工作人员为考察水情，乘快艇以$10m/s$的平均速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶。如图14，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东$30^{\circ}$方向上，继续行驶$40s$到达点B处，测得建筑物P在北偏西$60^{\circ}$方向上。求建筑物P到航线AB的距离。

答案： 5.解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可知，∠PAC = 60°，∠PBC = 30°。
在Rt△PAC中，由tan∠PAC = $\frac{PC}{AC}$，得AC = $\frac{\sqrt{3}}{3}$PC。
在Rt△PBC中，由tan∠PBC = $\frac{PC}{BC}$，得BC = $\sqrt{3}$PC。
由AB = AC + BC，得$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC + $\sqrt{3}$PC = 10×40 = 400，
解得PC = 100$\sqrt{3}$m。
答：建筑物P到航线AB的距离为100$\sqrt{3}$m。

6. （2022辽宁丹东中考）如图15，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向$33.2n mile$处，A港口在B港口北偏西$50^{\circ}$方向且距离B港口$40n mile$处，在A港口北偏东$53^{\circ}$方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船。求货船与A港口之间的距离。（参考数据：$\sin 50^{\circ}\approx 0.77$，$\cos 50^{\circ}\approx 0.64$，$\tan 50^{\circ}\approx 1.19$，$\sin 53^{\circ}\approx 0.80$，$\cos 53^{\circ}\approx 0.60$，$\tan 53^{\circ}\approx 1.33$）

答案：
6.解：如图48，过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F。
由题意，得EF = BC = 33.2nmile，AG//DC。
∴ ∠ADC = ∠GAD = 53°。
在Rt△ABF中，∠ABF = 50°，AB = 40nmile，
∴ AF = AB·sin50° ≈ 40×0.77 = 30.8(nmile)，
∴ AE = AF + EF = 64(nmile)。
在Rt△ADE中，AD = $\frac{AE}{sin53°}$ ≈ $\frac{64}{0.8}$ = 80(nmile)。
答：货船与A港口之间的距离约为80nmile。