《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

切线的判定：
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

答案： 知识梳理　垂直

1. 下列选项中，表述正确的是(C).

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端点且垂直于这条弦的直线是圆的切线

答案： 课前自测　1.C

2. 如图1，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是(D).

A.以OA为半径的圆
B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆
D.以OD为半径的圆

答案： 2.D

3. 如图2，△ABC的一边AB是⊙O的直径.请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线.你所添加的条件是(答案不唯一)∠ABC = 90°或AB⊥BC.

答案： 3.(答案不唯一)∠ABC = 90°或AB⊥BC

例 如图3，OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q.过点Q的直线交OA的延长线于点R.若RP=RQ，试判断RQ与⊙O的位置关系，并说明理由.
思路点拨 猜想RQ与⊙O相切，连接OQ，只要证明OQ⊥RQ即可.利用圆的半径相等和“等边对等角”的性质，通过角的等量转化，可证明∠OQB+∠RQP=90°，从而得出OQ⊥RQ.
解 RQ与⊙O相切.
理由如下：
如图4，连接OQ.
∵ OB=OQ，
∴ ∠OBQ=∠OQB.
∵ RP=RQ，∴ ∠RPQ=∠RQP.

∵ OA⊥OB，
∴ ∠OBQ+∠BPO=90°.
又∠BPO=∠RPQ，
∴ ∠OQB+∠RQP=90°.
∴ OQ⊥RQ.
又OQ是⊙O的半径，
∴ RQ与⊙O相切.

答案： RQ与⊙O相切。
理由如下：
连接OQ。
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB。
∵RP=RQ，
∴∠RPQ=∠RQP。
∵OA⊥OB，
∴∠OBQ+∠BPO=90°。
∵∠BPO=∠RPQ，
∴∠OBQ+∠RQP=90°。
∵∠OBQ=∠OQB，
∴∠OQB+∠RQP=90°，即∠OQR=90°。
∴OQ⊥RQ。
∵OQ是⊙O的半径，
∴RQ与⊙O相切。