《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

17. （16分）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼$MN$的高度。如图10，在山坡的坡脚$A$处测得大楼顶部$M$的仰角是$58^{\circ}$，沿着山坡向上走$75\ m$到达$B$处，在$B$处测得大楼顶部$M$的仰角是$22^{\circ}$，已知斜坡$AB$的坡度$i = 1:\frac{4}{3}$，求大楼$MN$的高度。（图中的点$A$，$B$，$M$，$N$，$C$均在同一平面内，$N$，$A$，$C$在同一水平线上，参考数据：$\tan 22^{\circ} \approx 0.4$，$\tan 58^{\circ} \approx 1.6$）

答案：
17.解:如图56，过点B作$BE⊥AC$于点E，作$BD⊥MN$于点D，则$BE=DN$，$DB=NE$.$\because$斜坡AB的坡度$i=1:\frac{4}{3}$，$\therefore\frac{BE}{AE}=\frac{3}{4}$.设$BE=3a m$，则$AE=4a m$.在Rt△ABE中，$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}=5a(m)$.
$\because AB=75 m$，$\therefore5a=75$.解得$a=15$.$\therefore DN=BE=45 m$，$AE=60 m$.设$AN=x m$，$\therefore BD=NE=AN+AE=(x+60)m$.在Rt△ANM中，$\angle NAM=58^{\circ}$，$\therefore MN=AN·\tan58^{\circ}\approx1.6x(m)$.$\therefore DM=MN - DN=(1.6x - 45)m$.在Rt△MDB中，$\angle MBD=22^{\circ}$，$\tan\angle MBD=\frac{DM}{BD}$，$\therefore\frac{1.6x - 45}{x+60}\approx0.4$.解得$x=57.5$.经检验$x=57.5$是原方程的根.$\therefore MN\approx1.6x=92(m)$.答:大楼MN的高度约为92m.

18. （20分）综合与实践
【问题情境】 龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意。某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度。
【实践探究】 下面是两个方案及测量数据：

【问题解决】
（1）根据“方案一”的测量数据，求出龙象塔$AB$的高度
（2）根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔$AB$的高度。（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$，$\sin 26.5^{\circ} \approx 0.45$，$\cos 26.5^{\circ} \approx 0.89$，$\tan 26.5^{\circ} \approx 0.50$）
（3）请对本次实践活动进行评价（一条即可）

答案： 18.解:
(1)由题意得，$\angle ABD=\angle CDE=90^{\circ}$，$CE// AD$.
$\therefore\angle CED=\angle ADB$.$\therefore\triangle CED\sim\triangle ADB$.
$\therefore\frac{CD}{DE}=\frac{AB}{BD}$.
$\therefore\frac{1.6}{1.2}=\frac{AB}{39}$.$\therefore AB=52 m$.答:龙象塔AB的高度为52m.
(2)设$BC=x m$，$\because CD=35 m$，$\therefore BD=BC+CD=(x+35)m$.在Rt△ABC中，$\angle ACB=\alpha=37^{\circ}$，
$\therefore AB=BC·\tan37^{\circ}\approx0.75x(m)$.在Rt△ABD中，
$\angle ADB=\beta=26.5^{\circ}$.$\therefore AB=BD·\tan26.5^{\circ}\approx0.5(x+35)m$.
$\therefore0.75x=0.5(x+35)$.解得$x=70$.$\therefore AB=0.75x=52.5(m)$.
答:龙象塔AB的高度约为52.5m.
(3)(答案不唯一，合理即可)两种方案均可测量出龙象塔的高度；取平均值是减少误差的方式.