《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式$S_{2\alpha }:\sin 2\alpha =$________________________.
(2)公式$C_{2\alpha }:\cos 2\alpha =$__________________ =____ =____________.
(3)公式$T_{2\alpha }:\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^{2}\alpha }$.

答案：
(1)$2\sin\alpha\cos\alpha$
(2)$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$ ，$2\cos^{2}\alpha - 1$ ，$1 - 2\sin^{2}\alpha$

2. 半角公式
$\sin \frac{\alpha }{2}=$______________，
$\cos \frac{\alpha }{2}=$______________，
$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha }{1 + \cos \alpha }}=$__________=$\frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha }$.

答案： $\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ ，$\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$ ，$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而来的. (　　　)
(2)存在实数$\alpha$，使$\tan 2\alpha = 2\tan \alpha$. (　　　)
(3)$\cos ^{2}\frac{\theta }{2}=\frac{1 - \cos \theta }{2}$. (　　　)
(4)$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1 + \cos \alpha }=\frac{1 - \cos \alpha }{\sin \alpha }$. (　　　)

答案： 提示:由半角公式、二倍角公式可知,
(1)正确;因为当$\alpha = 0$时,$\tan2\alpha = 2\tan\alpha = 0$,所以
(2)正确;因为由二倍角公式可知:$\cos\theta = 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}-1$,所以$\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1 + \cos\theta}{2}$,因此
(3)错误;因为$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$,$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$,所以
(4)正确.
答案:
(1)√
(2)√
(3)×
(4)√

2. (必修第一册P223练习5改条件)$\cos ^{2}\frac{\pi }{12}-\cos ^{2}\frac{5\pi }{12}=$ (　　　)
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D 因为$\cos\frac{5\pi}{12}=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12})=\sin\frac{\pi}{12}$,所以$\cos^{2}\frac{\pi}{12}-\cos^{2}\frac{5\pi}{12}=\cos^{2}\frac{\pi}{12}-\sin^{2}\frac{\pi}{12}=\cos(2\times\frac{\pi}{12})=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. (2023·新高考Ⅱ卷)已知$\alpha$为锐角，$\cos \alpha =\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$，则$\sin \frac{\alpha }{2}=$ (　　　)
A. $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$
B. $\frac{-1 + \sqrt{5}}{8}$
C. $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$
D. $\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

答案： D $\cos\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$,则$\cos\alpha = 1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$,故$2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1 - \cos\alpha=\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$,即$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{8}=\frac{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}-2\sqrt{5}}{16}=\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}$,因为$\alpha$为锐角,所以$\sin\frac{\alpha}{2}＞0$,所以$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$.

4. (忽视隐含条件)已知$2\sin \alpha = 1 + \cos \alpha$，则$\tan \frac{\alpha }{2}=$ (　　　)
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. 2或不存在
D. $\frac{1}{2}$或不存在

答案： D 当$\alpha = k\pi+\pi(k\in\mathbf{Z})$时,满足$2\sin\alpha = 1 + \cos\alpha$,此时$\tan\frac{\alpha}{2}$不存在;当$\alpha\neq k\pi+\pi(k\in\mathbf{Z})$时,$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\frac{1}{2}$.