《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. (　　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. (　　　)
(3)两异面直线所成角的范围是$(0,\frac{\pi}{2}]$，直线与平面所成角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$. (　　　)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足$\sin\theta =|\cos\langle u,n\rangle|$. (　　　)

答案： 1. 提示:直线的方向向量、平面的法向量之间所成的角不一定就是相应的线线角、线面角，故
(1)
(2)错误;
(3)
(4)正确。
　答案:
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)√

2. (选择性必修一P38练习T4·变形式)已知直线l₁的方向向量s₁=(1，0，1)与直线l₂的方向向量s₂=(-1，2，-2)，则直线l₁和l₂所成角的余弦值为 (　　　)
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 2. C因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2)，
　所以cos＜s1,s2＞=s1·s2/|s1||s2|=-1 - 2/√2×3=-√2/2。
　所以直线l1和l2所成角的余弦值为√2/2。

3. (选择性必修一P37例8变形式)平面α的一个法向量为m=(1，2，-2)，平面β的一个法向量为n=(2，2，1)，则平面α与平面β夹角的正切值为 (　　　)
A. $\frac{4}{9}$ B. $\frac{9}{4}$
C. $\frac{4\sqrt{65}}{65}$ D. $\frac{\sqrt{65}}{4}$

答案： 3. D设平面α与平面β的夹角为θ(0≤θ≤π/2)，
　则cosθ=|cos＜m,n＞|=|m·n|/|m||n|=4/9，
　则sinθ=√(1 - cos²θ)=√(1 - (4/9)²)=√65/9，
　所以tanθ=(√65/9)/(4/9)=√65/4。

4. (漏情况)在一个二面角的两个半平面上，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，-1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为 (　　　)
A. $\frac{\sqrt{15}}{6}$ B. $-\frac{\sqrt{15}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{15}}{6}$或$-\frac{\sqrt{15}}{6}$

答案： 4. D因为在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4)，则(0,-1,3)·(2,2,4)/√10×√24=√15/6，
　所以这个二面角的余弦值为√15/6或-√15/6。

[例1](1)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在$\overset{\frown}{AB}$上，且∠AOD = 2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 (　　　)
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{3}{4}$

(2)如图所示，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB = BC = AA₁，∠ABC = 90°，点E，F分别是棱AB，BB₁的中点，则直线EF和BC₁所成的角为______________.

答案：

(1)A因为∠AOD=2∠BOD，
　且∠AOD+∠BOD=π，所以∠BOD=π/3，
　连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB,OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
　　　　　
　设圆O的半径为2，则A(0,-2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2√3)，D(√3,1,0)，
AD=(√3,3,0)，BC=(0,-2,2√3)，
　设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜AD,BC＞|=|AD·BC|/|AD||BC|=|-6|/2√3×4=√3/4，
　所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为√3/4。
(2)[解析]分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系(如图)。
　　　　　
　设AB=1，则B(0,0,0)，E(1/2,0,0)，
　F(0,0,1/2)，C1(0,1,1)，
　所以EF=(-1/2,0,1/2)，BC1=(0,1,1)。
于是cos＜BC1,EF＞=BC1·EF/|BC1||EF|=(1/2)/(√2×√2/2)=1/2，
　所以直线EF和BC1所成的角为60°。
　答案:60°