《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

考点三 与圆有关的最值、范围问题
[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x，y满足方程x² + y² - 4x + 1 = 0.求：
(1)y/x的取值范围；
(2)y - x的取值范围；
(3)x² + y²的取值范围.

答案： 【解析】
(1)由圆的一般方程可得：圆心为(2,0)，半径r = √3；因为0² + 0² - 4×0 + 1 = 1＞0，所以原点在圆x² + y² - 4x + 1 = 0的外部，设y/x = k，则kx - y = 0(x≠0)与圆x² + y² - 4x + 1 = 0有公共点，所以圆心(2,0)到kx - y = 0(x≠0)的距离d = |2k|/√(k² + 1)≤√3，解得-√3≤k≤√3，即y/x的取值范围为[-√3,√3].
(2)设y - x = m，则直线x - y + m = 0与圆x² + y² - 4x + 1 = 0有公共点，所以圆心(2,0)到x - y + m = 0的距离d = |2 + m|/√2≤√3，解得-√6 - 2≤m≤√6 - 2，即y - x的取值范围为[-√6 - 2,√6 - 2].
(3)由
(1)知：原点在圆x² + y² - 4x + 1 = 0的外部，则可设x² + y² = r²(r＞0)，则圆x² + y² = r²(r＞0)与圆x² + y² - 4x + 1 = 0有公共点，因为两圆圆心距d = √((0 - 2)²+(0 - 0)²) = 2，所以r - √3≤2≤r + √3，解得2 - √3≤r≤2 + √3，所以7 - 4√3≤r²≤7 + 4√3，即x² + y²的取值范围为[7 - 4√3,7 + 4√3].

对点训练
(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x，y满足曲线C的方程x² + y² - 2x - 2 = 0，则下列选项正确的是 ( )
A.x² + y²的最大值是√3 + 1
B.(y + 1)/(x + 1)的最大值是2 + √6
C.|x - y + 3|的最小值是2√2 - √3
D.过点(0，√2)作曲线C的切线，则切线方程为x - √2y + 2 = 0

答案： BD 由圆C:x² + y² - 2x - 2 = 0可化为(x - 1)² + y² = 3，可得圆心(1,0)，半径r = √3，对于A，由x² + y²表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方，所以它的最大值为[(√((1 - 0)²+0²)+√3)]² = 4 + 2√3，所以A错误；对于B，(y + 1)/(x + 1)表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率，设(y + 1)/(x + 1) = k，即y + 1 = k(x + 1)，由圆心(1,0)到直线y + 1 = k(x + 1)的距离d = |2k - 1|/√(k² + 1)≤√3，解得2 - √6≤k≤2 + √6，所以(y + 1)/(x + 1)的最大值为2 + √6，所以B正确；对于C，由|x - y + 3|表示圆上任意一点到直线x - y + 3 = 0的距离的√2倍，圆心到直线的距离d = 4/√2 = 2√2，所以其最小值为√2(2√2 - √3) = 4 - √6，所以C错误；对于D，因为点(0,√2)满足圆C的方程，即点(0,√2)在圆C上，则该点与圆心连线的斜率为k₁ = -√2，根据圆的性质，可得过点(0,√2)作圆C的切线的斜率为k = -1/k₁ = √2/2，所以切线方程为y - √2 = √2/2(x - 0)，即x - √2y + 2 = 0，所以D正确.