《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数____________叫做幂函数，其中$x$是自变量，$\alpha$为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质
①幂函数在$(0, +\infty)$上都有定义；
②当$\alpha＞0$时，幂函数的图象都过点____________和________，且在$(0, +\infty)$上单调递增；
③当$\alpha＜0$时，幂函数的图象都过点____________，且在$(0, +\infty)$上单调递减；
④当$\alpha$为奇数时，$y = x^{\alpha}$为____________；当$\alpha$为偶数时，$y = x^{\alpha}$为__________.
微点拨 幂函数的特征：(1)自变量$x$处在幂底数的位置，幂指数$\alpha$为常数；(2)$x^{\alpha}$的系数为1；(3)只有一项.

答案：
(1)$y = x^{\alpha}$
(3)②(1,1) (0,0) ③(1,1) ④奇函数 偶函数

2. 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：$f(x) =$__________________________.
顶点式：$f(x) = a(x - m)^{2}+n(a\neq0)$，顶点坐标为______________.
零点式(或两根式)：$f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0)$，$x_{1}$，$x_{2}$为$f(x)$的__________.
(2)二次函数的图象和性质
|函数|$y = ax^{2}+bx + c$ $(a＞0)$|$y = ax^{2}+bx + c$ $(a＜0)$|
|----|----|----|
|图象(抛物线)||
|定义域|$R$|$R$|
|值域|$[\frac{4ac - b^{2}}{4a}, +\infty)$|$(-\infty,\frac{4ac - b^{2}}{4a}]$|
|对称轴|$x = -\frac{b}{2a}$|$x = -\frac{b}{2a}$|
|顶点坐标|$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$|$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$|
|奇偶性|当$b = 0$时是偶函数，当$b\neq0$时是非奇非偶函数|当$b = 0$时是偶函数，当$b\neq0$时是非奇非偶函数|
|单调性|在$(-\infty,-\frac{b}{2a}]$上单调递______；在$[-\frac{b}{2a}, +\infty)$上单调递______|在$(-\infty,-\frac{b}{2a}]$上单调递______；在$[-\frac{b}{2a}, +\infty)$上单调递______|
微点拨 对于函数$y = ax^{2}+bx + c$，要认为它是二次函数，就必须满足$a\neq0$，当题目的条件中未说明$a\neq0$时，就要讨论$a = 0$和$a\neq0$两种情况.

答案：
(1)$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ $(m,n)$ 零点
(2)减 增 增 减