《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

5. 平面向量数量积的坐标运算
已知非零向量$a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，a与b的夹角为$\theta$.
结论 符号表示 坐标表示
模 $|a|=\sqrt{a\cdot a}$ $|a|=$____
夹角 $\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}$ $\cos\theta=$____
$a\perp b$的充要条件 $a\cdot b = 0$
$|a\cdot b|$与$|a||b|$的关系 $|a\cdot b|\leq|a||b|$ $|x_1x_2 + y_1y_2|\leq\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}$

答案： $\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$ $\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$ $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 两个向量的夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$. ( )
(2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. ( )
(3) 若$a\cdot b = a\cdot c$ ($a\neq0$)，则$b = c$. ( )
(4) 向量a与b夹角为$\theta$，a在b上的投影向量为$(|a|\cos\theta)\frac{b}{|b|}$. ( )

答案： 提示:
(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(3)由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0})$得$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cdot\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|\cdot\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle$，所以向量$\boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{c}$不一定相等.
　答案:
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√

2. (必修第二册P36练习T1·变条件)已知$a = (-1,t - 1)$，$b=(3,2)$，且$|2a + b| = 3$，则$t =$ ( )
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\pm\sqrt{2}$
D. $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C 由向量$\boldsymbol{a}=(-1,t - 1)$，$\boldsymbol{b}=(3,2)$，可得$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,2t)$，因为$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 3$，可得$\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}} = 3$，解得$t^{2}=2$，所以$t=\pm\sqrt{2}$.

3. (2023·上海高考)已知向量$a = (-2,3)$，$b = (1,2)$，则$a\cdot b=$____

答案： [解析]因为向量$\boldsymbol{a}=(-2,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,2)$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2\times1 + 3\times2 = 4$.
　答案:4

4. (向量夹角的概念不清致误)在$\triangle ABC$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 6$，$BC = 5$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$____

答案： [解析]在△ABC中，∠B = 60°，AB = 6，BC = 5，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=6\times5\times(-\frac{1}{2})=-15$.
　答案: - 15

[例1] (1) (2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=$ ( )
A. $\sqrt{5}$
B. 3
C. $2\sqrt{5}$
D. 5

答案： B　正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以$\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EA}=-1$，$\overrightarrow{EB}\perp\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EA}\perp\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=2\times2 = 4$，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=-1 + 0+0 + 4 = 3$.

(2) (2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形，$|\overrightarrow{AB}| = 6$，$|\overrightarrow{AD}| = 3$.若点M，N满足$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{NC}$，则$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NM}=$ ( )
A. 20
B. 16
C. 9
D. 6

答案： B 因为$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{NC}$，所以$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{NM}=(\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD})\cdot(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}-\frac{2}{9}\overrightarrow{AD}^{2}=\frac{1}{2}\times36-\frac{2}{9}\times9 = 16$.

(3) (2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且$|a| = 1$，$|b| = 3$，则$(2a + b)\cdot b=$____

答案： [解析]由题意可得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times3\times\frac{1}{3}=1$，$\boldsymbol{b}^{2}=9$，则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=2 + 9 = 11$.
　答案:11

1. (2022·全国乙卷)已知向量a，b满足$|a| = 1$，$|b|=\sqrt{3}$，$|a - 2b| = 3$，则$a\cdot b=$ ( )
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： C 因为$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4|\boldsymbol{b}|^{2}$，$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$，所以$9 = 1-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\times3 = 13-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$.