《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1] 作出下列函数的图象：
(1) $y = (\frac{1}{2})^{|x|}$；
(2) $y = |\log_{2}(x + 1)|$；
(3) $y = x^{2}-2|x|-1$。

答案：
[例1][解析]
(1)先作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象，保留$y = (\frac{1}{2})^{x}$图象中$x\geq0$的部分，再作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象中$x＞0$的部分关于$y$轴的对称部分，即得$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，如图①实线部分. 　　
(2)将函数$y=\log_{2}x$的图象向左平移一个单位长度，再将$x$轴下方的部分沿$x$轴翻折上去，即可得到函数$y = |\log_{2}(x + 1)|$的图象，如图②.
(3)因为$y=\begin{cases}x^{2}-2x - 1,x\geq0\\x^{2}+2x - 1,x＜0\end{cases}$，且函数为偶函数，先用描点法作出$[0,+\infty)$上的图象，再根据对称性作出$(-\infty,0)$上的图象，得图象如图③.
　　　　

对点训练
作出下列各函数的图象：
(1) $y = x - |x - 1|$；
(2) $y = |x^{2}-4x + 3|$；
(3) $y = (\frac{1}{2})^{|x + 2|}$；
(4) $y = \sin|x|$。

答案：

[解析]
(1)根据绝对值的意义，可将函数解析式化为分段函数$y=\begin{cases}1,x\geq1\\2x - 1,x＜1\end{cases}$，其图象如图①所示.
　
(2)函数解析式可化为$y=\begin{cases}x^{2}-4x + 3,x\leq1或x\geq3\\-x^{2}+4x - 3,1＜x＜3\end{cases}$，其图象如图②实线所示.
(3)作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象，保留$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象中$x\geq0$的部分，加上$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象中$x＞0$的部分关于$y$轴的对称部分，即得$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，再向左平移2个单位长度，即得$y = (\frac{1}{2})^{|x + 2|}$的图象，如图③所示.
　　　　
　　　　
(4)当$x\geq0$时，$y=\sin|x|$与$y=\sin x$的图象完全相同，又$y=\sin|x|$为偶函数，图象关于$y$轴对称，故图象如图④所示.

[例2] (1) 函数$f(x)=\frac{1 - x^{2}}{e^{x}}$的图象大致为 ( )


(2) (2022·全国甲卷)函数$y = (3^{x}-3^{-x})\cos x$在区间$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$的图象大致为 ( )

答案：
(1)D　由题意可知，当$x = 0$时，$y = 1$，所以排除A，C；且$f(-x)=\frac{1-(-x)^{2}}{e^{-x}}=e^{x}(1 - x^{2})\neq f(x)$，所以函数$f(x)$不是偶函数，所以排除B.
(2)A　令$f(x)=(3^{x}-3^{-x})\cos x$，$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，则$f(-x)=(3^{-x}-3^{x})\cos(-x)=-(3^{x}-3^{-x})\cos x=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数，排除BD；又当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$3^{x}-3^{-x}＞0$，$\cos x＞0$，所以$f(x)＞0$，排除C.