《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.(选择性必修一P34例6·变形式)正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，则$A_{1}A$到平面$B_{1}D_{1}DB$的距离为 ( )
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答案： A 由正方体性质可知,A₁A//平面B₁D₁DB,A₁A到平面B₁D₁DB的距离就是点A₁到平面B₁D₁DB的距离,连接A₁C₁,交B₁D₁于O₁(图略),A₁O₁的长即为所求,
由题意可得A₁O₁=1/2A₁C₁=√2.

3.(选择性必修一P35练习2·变形式)直线l的方向向量为$\boldsymbol{m}=(1,0, - 1)$，且l过点$A(1,1,1)$，则点$P(-1,2,1)$到l的距离为 ( )
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： B 直线l的方向向量为m=(1,0, - 1),且l过点A(1,1,1),又点P(-1,2,1),
则AP→=(-2,1,0),则|AP|=√5,
又因为|AP→·m|/|m| =|-2×1 + 1×0 + 0×(-1)|/√2 =√2,所以点P(-1,2,1)到l的距离为√(√5)²-(√2)²=√3.

4.(不能正确使用公式)若两平行平面$\alpha$，$\beta$分别经过坐标原点O和点$A(2,1,1)$，且两平面的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(-1,0,1)$，则两平面间的距离是________.

答案： 【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,
而OA→=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离
d=|n·OA→|/|n| =|-1×2 + 0×1 + 1×1|/√((-1)²+0²+1²) =1/√2 =√2/2.
答案:√2/2

[例1](1)空间中有三点$P(1, - 2, - 2)$，$M(2, - 3,1)$，$N(3, - 2,2)$，则点P到直线MN的距离为 ( )
A.$2\sqrt{2}$ B.$2\sqrt{3}$ C.3 D.$2\sqrt{5}$
(2)如图，在棱长为1的正方体$ABCD - A'B'C'D'$中，已知E为$CC'$上一点，且$2CE = EC'$，在平面$CDD'C'$内作$EF// A'B$，交$C'D'$于点F，则直线EF与$A'B$之间的距离为________.

答案：

(1)A 因为MN→=(1,1,1),所以MN→的一个单位方向向量为u=√3/3(1,1,1).
因为PM→=(1, - 1,3),
故|PM→|=√1²+(-1)²+3² =√11,
PM→·u=√3/3×(1 - 1 + 3)=√3,
所以点P到直线MN的距离为√PM→²-(PM→·u)²=√11 - 3=2√2.
(2)【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,1/3).

直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,
BA'→=(-1,0,1),BE→=(0,1,1/3),BA'→·BE→=1/3,
|BA'→|=√2,|BE→|=√1 + 1/9 =√10/3,
cos＜BA'→,BE→＞=BA'→·BE→/(|BA'→||BE→|) =(1/3)/(√2×√10/3) =√5/10,
＜BA'→,BE→＞∈[0,π],
所以sin＜BA'→,BE→＞=√1-(√5/10)² =√95/10,
所以直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离为|BE→|sin＜BE→,BA'→＞=√10/3×√95/10 =√38/6.
答案:√38/6

如图，$ABCD - EFGH$是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}$，则P到直线AB的距离为 ( )

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{3}{5}$

答案：
C 建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),
所以AB→=(1,0,0),AD→=(0,1,0),AE→=(0,0,1),
则AP→=3/5(1,0,0)+1/2(0,1,0)+2/3(0,0,1)=(3/5,1/2,2/3),
因为AB→=(1,0,0),
所以AP→在AB→上的投影向量的长度为|AP→·AB→|/|AB→| =3/5,
所以点P到AB的距离√|AP→|²-(3/5)² =5/6.

考点二 点面距及其应用
[例2]如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面ABCD是边长为2的菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle APD = 90^{\circ}$，且$PA = PD$，$AD = PB$.
(1)求证：$AD\perp PB$；
(2)(一题多法)求点A到平面PBC的距离.

答案：
【解析】
(1)取AD的中点O,连接OP,OB,BD,(图略)
因为底面ABCD为菱形,∠BAD = 60°,
所以AD = AB = BD.
因为O为AD的中点,所以BO⊥AD.
在△PAD中,PA = PD,O为AD的中点,
所以PO⊥AD.
因为BO∩PO = O,所以AD⊥平面POB.
因为PB⊂平面POB,所以AD⊥PB.
(2)方法一:由题意及
(1)易知OP = 1,BO =√3,PB = 2,
所以OP²+BO² = PB²,所以OP⊥OB,
所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-2,√3,0),P(0,0,1),
所以AP→=(-1,0,1),PB→=(0,√3,-1),PC→=(-2,√3,-1),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则{n·PB→=√3y - z = 0,n·PC→=-2x + √3y - z = 0,
所以{x = 0,z =√3y,
不妨取y = 1,则n=(0,1,√3),
所以点A到平面PBC的距离d=|AP→·n|/|n| =√3/2.
方法二:因为PA = PD,∠APD = 90°,
所以PO=1/2AD = 1,由题意及
(1)知PB = 2,
又AD⊥PB,BC//AD,所以BC⊥PB,
记A到平面PBC的距离为h,S△PBC=1/2×2×2 = 2,
则由VA - PBC=VP - ABC得1/3h=1/3×1/2×2×2sin120°×1,
所以h=√3/2,
即A到平面PBC的距离为√3/2.