《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

已知$\omega ＞ 0$，函数$f(x)=\cos(\omega x - \frac{\pi}{6})$在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上单调递减，则$\omega$的取值范围是 ( )
A. $[\frac{1}{2},\frac{5}{4}]$ B. $[\frac{1}{3},\frac{7}{6}]$
C. $(0,\frac{1}{6}]$ D. $[\frac{1}{6},\frac{13}{6}]$

答案：
B 令$2k\pi\leq\omega x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\pi(k\in\mathbf{Z})$，
得$\frac{2k\pi+\frac{\pi}{6}}{\omega}\leq x\leq\frac{2k\pi+\frac{7\pi}{6}}{\omega}(k\in\mathbf{Z})$.
因为函数$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$上单调递减，
所以$\begin{cases}\frac{2k\pi+\frac{\pi}{6}}{\omega}\leq\frac{\pi}{2}\\\frac{2k\pi+\frac{7\pi}{6}}{\omega}\geq\pi\end{cases}$，其中$k\in\mathbf{Z}$，
解得$4k+\frac{1}{3}\leq\omega\leq2k+\frac{7}{6}(k\in\mathbf{Z})$.
又因为函数$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$上单调递减，
所以$T\geq\pi\Rightarrow\omega\leq2$.
又$\omega＞0$，所以当$k = 0$时，有$\frac{1}{3}\leq\omega\leq\frac{7}{6}$.

[例2]已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,|\varphi|\leq\frac{\pi}{2})$，$x = -\frac{\pi}{8}$是函数$f(x)$的一个零点，$x = \frac{\pi}{8}$是函数$f(x)$的一条对称轴，若$f(x)$在区间$(\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4})$上单调，则$\omega$的最大值是 ( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

答案： [例2]A 设函数$f(x)$的最小正周期为$T$，
因为$x = -\frac{\pi}{8}$是函数$f(x)$的一个零点，$x=\frac{\pi}{8}$是函数$f(x)$的一条对称轴，则$\frac{2n + 1}{4}T=\frac{\pi}{8}-\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{4}$，其中$n\in\mathbf{N}$，
所以$T=\frac{\pi}{2n + 1}=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$\omega = 4n + 2$.
因为函数$f(x)$在区间$\left(\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4}\right)$上单调，则$\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{5}\leq\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}$，所以$\omega\leq20$，
所以$\omega$的可能取值有：2，6，10，14，18.
(ⅰ)当$\omega = 18$时，$f(x)=\sin(18x+\varphi)$，
$f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\sin\left(-\frac{9\pi}{4}+\varphi\right)=0$，
所以$\varphi-\frac{9\pi}{4}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
则$\varphi=k\pi+\frac{9\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，
因为$-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}$，
所以$\varphi=\frac{\pi}{4}$，所以$f(x)=\sin\left(18x+\frac{\pi}{4}\right)$，
当$\frac{\pi}{5}＜x＜\frac{\pi}{4}$时，$\frac{77\pi}{20}＜18x+\frac{\pi}{4}＜\frac{19\pi}{4}$，
所以函数$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4}\right)$上不单调，不符合题意；
(ⅱ)当$\omega = 14$时，$f(x)=\sin(14x+\varphi)$，
$f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\sin\left(-\frac{7\pi}{4}+\varphi\right)=0$，
所以$\varphi-\frac{7\pi}{4}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，则$\varphi=k\pi+\frac{7\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，
因为$-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{4}$，
所以$f(x)=\sin\left(14x-\frac{\pi}{4}\right)$，
当$\frac{\pi}{5}＜x＜\frac{\pi}{4}$时，$\frac{51\pi}{20}＜14x-\frac{\pi}{4}＜\frac{13\pi}{4}$，
所以函数$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{4}\right)$上单调递减，符合题意.
因此，$\omega$的最大值为14.

(多选题)(2023·衡水模拟)将函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega ＞ 0)$的图象向右平移$\frac{3\pi}{2\omega}$个单位长度后得到函数$g(x)$的图象，若$F(x)=f(x)g(x)$的图象关于点$(\frac{\pi}{3},0)$对称，则$\omega$可取的值为 ( )
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. 1 D. 4

答案：
CD 将函数$f(x)$的图象向右平移$\frac{3\pi}{2\omega}$个单位长度，得到函数$g(x)=\sin\left[\omega\left(x-\frac{3\pi}{2\omega}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$，
又因为$F(x)=f(x)g(x)$的图象关于点$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$对称，
所以$F(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\sin\left(2\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象关于点$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$对称，则$2\omega\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
所以$\omega=\frac{3k - 1}{2},k\in\mathbf{Z}$，
又因为$\omega＞0$，所以$\omega$的最小值为1，
故$\omega$可取的值为1，4.

[例3](2023·成都模拟)已知函数$f(x)=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega ＞ 0)$在区间$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})$上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数$\omega$的取值范围为 ( )
A. $[\frac{8}{3},7)$ B. $(\frac{8}{3},4)$ C. $[4,\frac{20}{3})$ D. $(\frac{20}{3},7)$

答案： [例3]B 因为$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以$\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)＞\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}$，所以$\omega＞\frac{12}{7}$.
令$t = \omega x+\frac{\pi}{6}$，当$x\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$时，$t\in\left(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}\right)$，
于是$f(x)=2\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$在区间$\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$上的最值点个数等价于$g(t)=2\sin t$在$\left(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}\right)$上的最值点个数.
由$\omega＞\frac{12}{7}$知，$-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}＜0$，$\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}＞0$，
因为$g(t)$在$\left(-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}\right)$上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以$\begin{cases}-\frac{3\pi}{2}＜-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}＜-\frac{\pi}{2}\\\frac{\pi}{2}＜\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}＜\frac{3\pi}{2}\end{cases}$，
解得$\frac{8}{3}＜\omega＜4$.

已知函数$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \pi)$的图象在$y$轴上的截距为$\frac{1}{2}$，且在区间$(\pi,2\pi)$上没有最值，则$\omega$的取值范围为________________.

答案：
【解析】由题意可知，$f(0)=\frac{1}{2}$，且$0＜\varphi＜\pi$，
则$\varphi=\frac{\pi}{3}$.
又$f(x)$在区间$(\pi,2\pi)$上没有最值，所以$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}\geq\pi$，即$0＜\omega\leq1$；
$f(x)=\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$，
令$\omega x+\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
即$x=\frac{k\pi}{\omega}-\frac{\pi}{3\omega},k\in\mathbf{Z}$，
所以当$x=\frac{k\pi}{\omega}-\frac{\pi}{3\omega},k\in\mathbf{Z}$时，
函数$f(x)=\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$取到最值，
因为$f(x)$在区间$(\pi,2\pi)$内没有最值，
所以$\begin{cases}\frac{k\pi}{\omega}-\frac{\pi}{3\omega}\leq\pi\\\frac{(k + 1)\pi}{\omega}-\frac{\pi}{3\omega}\geq2\pi\end{cases}$，$k\in\mathbf{Z}$，
解得$k-\frac{1}{3}\leq\omega\leq\frac{k}{2}+\frac{1}{3},k\in\mathbf{Z}$.
当$k = 0$时，$-\frac{1}{3}\leq\omega\leq\frac{1}{3}$，
又$0＜\omega\leq1$，所以$0＜\omega\leq\frac{1}{3}$，
当$k = 1$时，$\frac{2}{3}\leq\omega\leq\frac{5}{6}$，
可得$\omega\in\left(0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{5}{6}\right]$.
答案：$\left(0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{5}{6}\right]$

类型四 $\omega$的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合
[例4](2022·全国甲卷)设函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$在区间$(0,\pi)$恰有三个极值点、两个零点，则$\omega$的取值范围是 ( )
A. $[\frac{5}{3},\frac{13}{6})$ B. $[\frac{5}{3},\frac{19}{6})$ C. $(\frac{13}{6},\frac{8}{3}]$ D. $(\frac{13}{6},\frac{19}{6}]$

答案： [例4]C 当$\omega＜0$时，不能满足在区间$(0,\pi)$内极值点比零点多，所以$\omega＞0$；
函数$f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$在区间$(0,\pi)$内恰有三个极值点、两个零点，
则有$\omega x+\frac{\pi}{3}\in\left(\frac{\pi}{3},\omega\pi+\frac{\pi}{3}\right)$，
所以$\frac{5\pi}{2}＜\omega\pi+\frac{\pi}{3}\leq3\pi$，
求得$\frac{13}{6}＜\omega\leq\frac{8}{3}$.

(2022·全国乙卷)记函数$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \pi)$的最小正周期为$T$. 若$f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2},x = \frac{\pi}{9}$为$f(x)$的零点，则$\omega$的最小值为__________.

答案：
【解析】因为$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\pi)$，所以最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，
因为$f(T)=\cos\left(\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}+\varphi\right)=\cos(2\pi+\varphi)=\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又因为$0＜\varphi＜\pi$，
所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$，即$f(x)=\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$，
又因为$x=\frac{\pi}{9}$为$f(x)$的零点，
所以$\frac{\pi}{9}\omega+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
解得$\omega = 3 + 9k,k\in\mathbf{Z}$，
因为$\omega＞0$，所以当$k = 0$时，$\omega_{\min}=3$.
答案：3