《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度3 切线问题
[例3]已知点P(√2 + 1，2 - √2)，点M(3，1)，圆C：(x - 1)² + (y - 2)² = 4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.

答案： 【解析】由题意得圆心C(1,2)，半径r = 2.
(1)因为(√2 + 1 - 1)²+(2 - √2 - 2)² = 4，所以点P在圆C上.又$k_{PC} = (2 - √2 - 2)/(√2 + 1 - 1) = -1，$所以切线的斜率$k = -1/k_{PC} = 1.$所以过点P的圆C的切线方程是y - (2 - √2) = x - (√2 + 1)，即x - y + 1 - 2√2 = 0.
(2)因为(3 - 1)²+(1 - 2)² = 5＞4，所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x = 3，即x - 3 = 0.又点C(1,2)到直线x - 3 = 0的距离d = 3 - 1 = 2 = r，即此时直线与圆相切，所以直线x = 3是圆的切线.当切线的斜率存在时，设切线方程为y - 1 = k(x - 3)，即kx - y + 1 - 3k = 0，则圆心C到切线的距离d = |k - 2 + 1 - 3k|/√(k² + 1) = r = 2，解得k = 3/4.所以切线方程为y - 1 = 3/4(x - 3)，即3x - 4y - 5 = 0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x - 3 = 0或3x - 4y - 5 = 0.因为|MC| = √((3 - 1)²+(1 - 2)²) = √5，所以过点M的圆C的切线长为√(|MC|² - r²) = √(5 - 4) = 1.

对点训练
1.(2024·南京模拟)直线3x + 4y + 12 = 0与圆(x - 1)² + (y + 1)² = 9的位置关系是 ( )
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心

答案： D 由题意知，圆(x - 1)²+(y + 1)² = 9的圆心为(1,-1)，半径r = 3，则圆心到直线3x + 4y + 12 = 0的距离d = |3×1 + 4×(-1) + 12|/√(3² + 4²) = 11/5，因为0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心.

2.过点(-√3/3，0)且倾斜角为π/3的直线l交圆x² + y² - 6y = 0于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.4√2
B.2√2
C.2√10
D.√10

答案： A 过点(-√3/3,0)且倾斜角为π/3的直线l的方程为y = √3(x + √3/3)，即√3x - y + 1 = 0，又圆x² + y² - 6y = 0即x²+(y - 3)² = 9，所以圆心(0,3)，半径r = 3，则圆心(0,3)到直线l的距离d = |-3 + 1|/2 = 1，所以直线被圆截得的弦AB = 2√(3² - 1²) = 4√2.

3.(2024·东城模拟)已知点M(1，√3)在圆C：x² + y² = m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°

答案： D 由题意得m = 1 + 3 = 4，当l的斜率不存在时，此时直线方程为x = 1，与圆C:x² + y² = 4相交，不符合题意；当l的斜率存在时，设切线l的方程为y - √3 = k(x - 1)，则|k - √3|/√(1 + k²) = 2，解得k = -√3/3，因为l的倾斜角为0°≤θ＜180°，故l的倾斜角为150°.

考点二 圆与圆的位置关系
[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x² + y² - 2x = 0的公共弦所在直线的方程为x - √3y = 0，则圆E的方程为 ( )
A.x² + (y - √3)² = 2
B.x² + (y + √3)² = 2
C.x² + (y - √3)² = 3
D.x² + (y + √3)² = 3
(2)已知两圆C₁：x² + y² - 2x + 10y - 24 = 0和C₂：x² + y² + 2x + 2y - 8 = 0.
①判断两圆公切线的条数；
②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.
一题多变
[变式1]本例(2)中，若两圆相交于A，B两点，不求交点，则线段C₁C₂(C₁，C₂分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为____________.
[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A，B，则经过两点A，B且圆心在直线x + y = 0上的圆的方程为________________.

答案：
(1)C 两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0,a)，半径为r.又圆x² + y² - 2x = 0的圆心为(1,0)，半径为1，故a/(-1)×1/√3 = -1，解得a = √3.故所求圆心为(0,√3).点(1,0)到直线x - √3y = 0的距离为1/√(1 + 3) = 1/2，所以x² + y² - 2x = 0截直线x - √3y = 0所得弦长为2√(1² - 1/4) = √3，圆心(0,√3)到直线x - √3y = 0的距离为3/2，所以圆截直线x - √3y = 0所得弦长为2√(r² - (3/2)²) = √3，解得r = √3.故圆心坐标为(0,√3)，半径为√3.得圆E的方程为x²+(y - √3)² = 3.
(2)【解析】①两圆的标准方程分别为C₁:(x - 1)²+(y + 5)² = 50，C₂:(x + 1)²+(y + 1)² = 10，则圆C₁的圆心为(1,-5)，半径r₁ = 5√2；圆C₂的圆心为(-1,-1)，半径r₂ = √10.又|C₁C₂| = 2√5，r₁ + r₂ = 5√2 + √10，r₁ - r₂ = 5√2 - √10，所以r₁ - r₂＜|C₁C₂|＜r₁ + r₂，所以两圆相交，所以两圆有两条公切线.②将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x - 2y + 4 = 0.圆心C₁到直线x - 2y + 4 = 0的距离d = |1 - 2×(-5) + 4|/√(1 + (-2)²) = 3√5，设公共弦长为2l，由勾股定理得r₁² = d² + l²，得50 = 45 + l²，解得l = √5，所以公共弦长2l = 2√5.
@@【解析】由圆C₁的圆心坐标为(1,-5)，圆C₂的圆心坐标为(-1,-1)，可知$k_{C₁C₂} = (-5 - (-1))/(1 - (-1)) = -2，$则$k_{AB} = 1/2，$C₁C₂的中点坐标为(0,-3)，因此线段C₁C₂的垂直平分线所在的直线方程为y + 3 = 1/2x，即x - 2y - 6 = 0.答案：x - 2y - 6 = 0
@@【解析】设所求的圆的方程为x² + y² - 2x + 10y - 24 + λ(x² + y² + 2x + 2y - 8) = 0(λ≠ - 1)，整理可得(1 + λ)x²+(1 + λ)y²+(2λ - 2)x+(2λ + 10)y - 8λ - 24 = 0，因此圆的圆心坐标为((1 - λ)/(1 + λ),-(λ + 5)/(1 + λ))，由于圆心在x + y = 0上，则(1 - λ)/(1 + λ)+(-(λ + 5)/(1 + λ)) = 0，解得λ = - 2，因此所求的圆的方程为x² + y² + 6x - 6y + 8 = 0.答案：x² + y² + 6x - 6y + 8 = 0