《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度3 常数代换法
[例3]（1）（2024·昆明模拟）已知实数$x＞0,y＞0,x + 3y = 2$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为 （ ）
A. 3
B. $1+\sqrt{3}$
C. $2+\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $2+\sqrt{3}$

答案： [例 3]
(1)D 因为$x＞0,y＞0$，且$x + 3y = 2$，所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x + 3y)=\frac{1}{2}(4+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y})\geqslant2+\sqrt{\frac{3y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2+\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{x}{y}$，即$y=\frac{3 - \sqrt{3}}{3},x=\sqrt{3}-1$时取等号.

（2）已知正数$a,b$满足$a + b = ab - 1$，则$a + b$的最小值为______________。

答案：
(2)【解析】因为$a + b = ab - 1$，所以$a=\frac{b + 1}{b - 1}＞0$，所以$b＞1$.所以$a + b=\frac{b + 1}{b - 1}+b=\frac{b - 1+2}{b - 1}+b=1+\frac{2}{b - 1}+b=1+\frac{2}{b - 1}+(b - 1)+1=2+(b - 1)+\frac{2}{b - 1}\geqslant2+2\sqrt{(b - 1)\cdot\frac{2}{b - 1}}=2+2\sqrt{2}$(当且仅当$b = 1+\sqrt{2},a = 1+\sqrt{2}$时，取等号).
答案：$2+2\sqrt{2}$

角度4 消元法
[例4]（2024·烟台模拟）已知$x＞0,y＞0,x + 3y+xy = 9$，则$x + 3y$的最小值为__________。

答案： [例 4]【解析】方法一(换元消元法)：由已知得$9-(x + 3y)=xy=\frac{1}{3}\cdot x\cdot3y\leqslant\frac{1}{3}\cdot(\frac{x + 3y}{2})^{2}$，当且仅当$x = 3y$，即$x = 3,y = 1$时取等号. 即$(x + 3y)^{2}+12(x + 3y)-108\geqslant0$，令$x + 3y = t$，则$t＞0$且$t^{2}+12t - 108\geqslant0$，得$t\geqslant6$，即$x + 3y$的最小值为 6.
方法二(代入消元法)：由$x + 3y+xy = 9$，得$x=\frac{9 - 3y}{1 + y}$，所以$x + 3y=\frac{9 - 3y}{1 + y}+3y=\frac{9 - 3y+3y(1 + y)}{1 + y}=\frac{9+3y^{2}}{1 + y}=\frac{3(1 + y)^{2}-6(1 + y)+12}{1 + y}=3(1 + y)+\frac{12}{1 + y}-6\geqslant2\sqrt{3(1 + y)\cdot\frac{12}{1 + y}}-6=12 - 6 = 6$，当且仅当$3(1 + y)=\frac{12}{1 + y}$，即$y = 1,x = 3$时取等号，所以$x + 3y$的最小值为 6.
答案：6

[例5]（必修第一册P58T5变形式）若$a,b＞0$，且$ab=a + b + 3$，则$ab$的取值范围为________。

答案： [例 5]【解析】解法一(基本不等式法)：由已知得$a + b = ab - 3$，又$a,b＞0$时，$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，所以$ab-3\geqslant2\sqrt{ab}$，所以$(\sqrt{ab})^{2}-2\sqrt{ab}-3\geqslant0$，则$(\sqrt{ab}-3)(\sqrt{ab}+1)\geqslant0$，所以$\sqrt{ab}\geqslant3$或$\sqrt{ab}\leqslant-1$(舍去)，所以$\sqrt{ab}\geqslant3$，则$ab\geqslant9$，当且仅当$a = b = 3$时等号成立，所以$ab$的取值范围为$[9,+\infty)$.
解法二(换元法)：令$ab = t(t＞0)$，则$a=\frac{t}{b}(t＞0)$，代入$ab=a + b+3$，整理得$b^{2}+(3 - t)b+t = 0$，因为该方程有正根，所以$\begin{cases}\Delta=(3 - t)^{2}-4t\geqslant0\\t - 3＞0\\t＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}t\geqslant9或t\leqslant1\\t＞3\end{cases}$，解得$t\geqslant9$，所以$ab$的取值范围为$[9,+\infty)$.
答案：$[9,+\infty)$

高考链接
（2023·全国乙卷）已知实数$x,y$满足$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$，则$x - y$的最大值是 （ ）
A. $1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B. 4
C. $1 + 3\sqrt{2}$
D. 7

答案： 【高考链接】
C 解法一(换元法)：令$x - y = t$，则$x = t + y$，代入$x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$，整理得$2y^{2}+(2t - 6)y+t^{2}-4t - 4 = 0$，因为存在实数$y$，则$\Delta\geqslant0$，即$(2t - 6)^{2}-4\times2(t^{2}-4t - 4)\geqslant0$，化简得$t^{2}-2t - 17\leqslant0$，解得$1 - 3\sqrt{2}\leqslant t\leqslant1+3\sqrt{2}$.所以$x - y$的最大值为$1+3\sqrt{2}$.
解法二(基本不等式法)：由$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab(a,b\in\mathbf{R})$得$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant(\frac{a + b}{2})^{2}$，由已知得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9$，所以$\frac{9}{2}=\frac{(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}}{2}=\frac{(x - 2)^{2}+(1 - y)^{2}}{2}\geqslant[\frac{(x - 2)+(1 - y)}{2}]^{2}$，当且仅当$x - 2 = 1 - y$，即$x=\frac{4+3\sqrt{2}}{2},y=\frac{2 - 3\sqrt{2}}{2}$或$x=\frac{4 - 3\sqrt{2}}{2},y=\frac{2+3\sqrt{2}}{2}$时，等号成立.即$\frac{9}{2}\geqslant(\frac{x - y - 1}{2})^{2}$，所以$(x - y - 1)^{2}\leqslant18$，则$|x - y - 1|\leqslant3\sqrt{2}$，所以$1 - 3\sqrt{2}\leqslant x - y\leqslant1+3\sqrt{2}$，故$x - y$的最大值为$1+3\sqrt{2}$.

对点训练
1.（2024·曲靖模拟）已知$0＜x＜\sqrt{5}$，则$x\sqrt{5 - x^{2}}$的最大值是 （ ）
A. 1
B. 2
C. $\frac{5}{2}$
D. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

答案： 【对点训练】
1. C 因为$0＜x＜\sqrt{5}$，所以$x\sqrt{5 - x^{2}}=\sqrt{x^{2}(5 - x^{2})}\leqslant\frac{x^{2}+(5 - x^{2})}{2}=\frac{5}{2}$，当且仅当$x^{2}=5 - x^{2}$，即$x=\frac{\sqrt{10}}{2}$时，等号成立，所以$x\sqrt{5 - x^{2}}$的最大值是$\frac{5}{2}$.