《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.椭圆的定义
把平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离的和等于________(大于$|F_1F_2|$)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________.

答案： 常数　焦点　焦距

2.椭圆的标准方程
(1)焦点在$x$轴上：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$.
(2)焦点在$y$轴上：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$.
微思考 如何判断点$P(x_0,y_0)$与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的位置关系?

答案： 提示：当$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}＜1$时，点$P$在椭圆内；
当$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$时，点$P$在椭圆上；
当$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}＞1$时，点$P$在椭圆外.

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知$F_1(-4,0),F_2(4,0)$，平面内到$F_1,F_2$两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆. ( )
(2)已知$F_1(-4,0),F_2(4,0)$，平面内到$F_1,F_2$两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. ( )
(3)平面内到点$F_1(-4,0),F_2(4,0)$两点的距离之和等于点$M(5,3)$到$F_1,F_2$的距离之和的点的轨迹是椭圆. ( )
(4)平面内到点$F_1(-4,0),F_2(4,0)$距离相等的点的轨迹是一条直线. ( )

答案： 提示：
(1)×. 因为$2a = |F_{1}F_{2}| = 8$，动点的轨迹是线段$F_{1}F_{2}$，不是椭圆；
(2)×. 由于$2a＜|F_{1}F_{2}|$，动点不存在，因此轨迹不存在；
(3)√. 由于$2a = |MF_{1}|+|MF_{2}|＞|F_{1}F_{2}|$，符合椭圆的定义；
(4)√. 平面内到点$F_{1}(-4,0)$，$F_{2}(4,0)$距离相等的点的轨迹是线段$F_{1}F_{2}$的垂直平分线.