《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1]已知函数$f(x)=\ln x - ax(x＞0)$，$a$为常数，若函数$f(x)$有两个零点$x_1,x_2(x_1\neq x_2)$.
证明：$x_1x_2＞e^2$.

答案： 【证明】不妨设$x_{1}＞x_{2}＞0$，因为$\ln x_{1}-ax_{1}=0$，$\ln x_{2}-ax_{2}=0$，
所以$\ln x_{1}+\ln x_{2}=a(x_{1}+x_{2})$，$\ln x_{1}-\ln x_{2}=a(x_{1}-x_{2})$，所以$\frac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}=a$，
欲证$x_{1}x_{2}＞e^{2}$，即证$\ln x_{1}+\ln x_{2}＞2$。
因为$\ln x_{1}+\ln x_{2}=a(x_{1}+x_{2})$，所以即证$a＞\frac{2}{x_{1}+x_{2}}$，
所以原问题等价于证明$\frac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}＞\frac{2}{x_{1}+x_{2}}$，即$\ln \frac{x_{1}}{x_{2}}＞\frac{2(x_{1}-x_{2})}{x_{1}+x_{2}}$，
令$c = \frac{x_{1}}{x_{2}}(c＞1)$，则不等式变为$\ln c＞\frac{2(c - 1)}{c + 1}$。
令$h(c)=\ln c-\frac{2(c - 1)}{c + 1}$，$c＞1$，所以$h'(c)=\frac{1}{c}-\frac{4}{(c + 1)^{2}}=\frac{(c - 1)^{2}}{c(c + 1)^{2}}＞0$，
所以$h(c)$在$(1,+\infty)$上单调递增，所以$h(c)＞h(1)=\ln 1-0 = 0$，
即$\ln c-\frac{2(c - 1)}{c + 1}＞0(c＞1)$，
因此原不等式$x_{1}x_{2}＞e^{2}$得证。