《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 函数的周期性
(1)
周期函数：设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对每一个$x\in D$都有$x + T\in D$，且$f(x + T)=$________，那么函数$f(x)$就叫做周期函数. 非零常数______叫做这个函数的周期.
(2)
最小正周期：如果在周期函数$f(x)$的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小的正数就叫做$f(x)$的最小正周期(若不特别说明，$T$一般就是指最小正周期).

答案：
(1)$f(x)$ $T$
(2)最小　　

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 函数$y = x^2$在$x\in(0,+\infty)$上是偶函数. ( )
(2) 若函数$f(x)$为奇函数，则一定有$f(0)=0$. ( )
(3) 若$T$是函数$f(x)$的一个周期，则$nT(n\in\mathbf{Z},n\neq0)$也是函数$f(x)$的周期. ( )
(4) 若函数$f(x)$满足关系$f(a + x)=-f(b - x)$，则函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{a + b}{2},0)$对称. ( )

答案： 1. 提示：
(1) 由于偶函数的定义域关于原点对称，故$y = x^{2}$在$(0,+\infty)$上不具有奇偶性. ×
(2) 由奇函数定义可知，若$f(x)$为奇函数，且在$x = 0$处有意义时才满足$f(0)=0$，故错误. ×
答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√

2. (2023·上海高考)下列函数是偶函数的是 ( )
A. $y=\sin x$
B. $y=\cos x$
C. $y = x^3$
D. $y = 2^x$

答案： 2. B 对于A，由正弦函数的性质可知，$y=\sin x$为奇函数；对于B，由余弦函数的性质可知，$y = \cos x$为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，$y = x^{3}$为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，$y = 2^{x}$为非奇非偶函数.

3. (忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知$f(x)=ax^2+bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，那么$a + b$的值是 ( )
A. $-\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$

答案： 3. B 因为$f(x)=ax^{2}+bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，所以$a - 1+2a = 0$，所以$a=\frac{1}{3}$.
又$f(-x)=f(x)$，所以$b = 0$，所以$a + b=\frac{1}{3}$.

4. (必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x(1 + x)$，则$f(-1)=$________.

答案： 4.【解析】$f(1)=1\times2 = 2$，又$f(x)$为奇函数，所以$f(-1)=-f(1)=-2$.
答案：$-2$