《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.函数的单调性与导数的关系

答案： 1. 单调递增 单调递减 常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步,确定函数的____________；
第2步，求出导数$f'(x)$的________；
第3步，用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，列表给出$f'(x)$在各区间上的正负，由此得出函数y = f(x)在定义域内的单调性.

答案： 2. 定义域 零点

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数$f(x)$在(a,b)内单调递增，那么一定有$f'(x)＞0$. (　　　)
(2)若函数y = f(x)在(a,b)内恒有$f'(x)\geqslant0$，则y = f(x)在(a,b)上一定单调递增. (　　　)
(3)若函数$f(x)$在定义域上都有$f'(x)＞0$，则$f(x)$在定义域上一定单调递增. (　　　)
(4)如果函数$f(x)$在某个区间内恒有$f'(x)=0$，则$f(x)$在此区间内没有单调性. (　　　)

答案： 提示：
(1) 有可能$f'(x)=0$，如$f(x)=x^{3}$，它在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，但$f'(x)=3x^{2}\geqslant0$. ×
(2) 若$y = f(x)$为常数函数，则$f'(x)=0$，满足条件，但不具备单调性. ×
(3) 反例，$f(x)=-\frac{1}{x}$，虽然$f'(x)=\frac{1}{x^{2}}＞0$，但$f(x)=-\frac{1}{x}$在其定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上不具有单调性. ×
(4) 如果函数$f(x)$在某个区间内恒有$f'(x)=0$，则此函数$f(x)$在这个区间内为常数函数，则函数$f(x)$在这个区间内没有单调性. √
答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2.(选修二P97T2·变形式)函数$f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x$的单调递增区间是__________.

答案： 【解析】由$f'(x)=3x^{2}+4x - 4=(3x - 2)(x + 2)＞0$，得$x＜-2$或$x＞\frac{2}{3}$，
故$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$.
答案：$(-\infty,-2),(\frac{2}{3},+\infty)$

3.(2022·浙江高考节选)设函数$f(x)=\frac{e^{x}}{2x}+\ln x(x＞0)$.则$f(x)$的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________.

答案： 【解析】$f'(x)=-\frac{e}{2x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{2x - e}{2x^{2}}$，
当$0＜x＜\frac{e}{2}$时，$f'(x)＜0$；
当$x＞\frac{e}{2}$时，$f'(x)＞0$.
故$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{e}{2})$，单调递增区间为$(\frac{e}{2},+\infty)$.
答案：$(0,\frac{e}{2})$ $(\frac{e}{2},+\infty)$

4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数$f(x)=\sin x+kx$在(0,π)上单调递增，则实数k的取值范围为____________.

答案： 【解析】因为$f'(x)=\cos x + k\geqslant0$，
所以$k\geqslant-\cos x$，$x\in(0,\pi)$恒成立.
当$x\in(0,\pi)$时，$-1＜-\cos x＜1$，所以$k\geqslant1$.
答案：$[1,+\infty)$