《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

考点一 等差、等比数列的交汇(规范答题)
[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{aₙ}的公差为d,且d＞1,令bₙ=$\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$,记Sₙ,Tₙ分别为数列{aₙ},{bₙ}的前n项和.
(1)若3a₂=3a₁+a₃,S₃+T₃=21,求{aₙ}的通项公式;
(2)若{bₙ}为等差数列,且S₉₉ - T₉₉ = 99,求d.
审题导思 破题点·柳暗花明
(1)
思路:根据等差数列的定义,灵活运用给定的条件,即可得到所求等差数列的通项公式;同时帮助学生理解题设条件,以顺利进入第(2)问的情境.
(2)
思路:所给题设条件“{bₙ}为等差数列”要求学生能够灵活转化为求解数列{aₙ}中公差与首项的关系,可以采用通性通法来解答.
规范答题 微敲点·水到渠成
【解析】(1)因为3a₂=3a₁+a₃,
所以3d=a₁+2d,解得a₁=d, …………… 1分
关键点 根据已知条件,列方程求出首项a₁和公差d的关系.
所以S₃=3a₂=3(a₁+d)=6d,
又T₃=b₁+b₂+b₃=$\frac{2}{d}+\frac{3}{d}+\frac{4}{d}=\frac{9}{d}$,
所以S₃+T₃=6d+$\frac{9}{d}=21$,
即2d² - 7d + 3 = 0,
解得d = 3或d = $\frac{1}{2}$(舍去), …………… 3分
所以aₙ=a₁+(n - 1)d=3n,
所以{aₙ}的通项公式为aₙ=3n. ………… 4分
阅卷现场 (1)没有过程,只有aₙ=3n得1分;
(2)结果正确时漏写a₁=d不扣分;
(3)d = $\frac{1}{2}$漏写只得1分.
(2)因为bₙ=$\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$,且{bₙ}为等差数列,
所以2b₂=b₁+b₃,即$\frac{12}{a_{2}}=\frac{2}{a_{1}}+\frac{12}{a_{3}}$, ………… 6分
所以$\frac{6}{a_{1}+d}-\frac{1}{a_{1}}=\frac{6}{a_{1}+2d}$,
所以a₁² - 3a₁d + 2d² = 0,
解得a₁=d或a₁=2d. …………… 8分
传技巧 取{bₙ}的前3项,利用等差中项2b₂=b₁+b₃,得到首项a₁和公差d之间的关系.
解法一:①当a₁=d时,aₙ=nd,
所以bₙ=$\frac{n^{2}+n}{a_{n}}=\frac{n^{2}+n}{nd}=\frac{n + 1}{d}$,
S₉₉=$\frac{99(a_{1}+a_{99})}{2}=\frac{99(d + 99d)}{2}=99×50d$,
T₉₉=$\frac{99(b_{1}+b_{99})}{2}=\frac{99(\frac{2}{d}+\frac{100}{d})}{2}=\frac{99×51}{d}$.
因为S₉₉ - T₉₉ = 99,
所以99×50d - $\frac{99×51}{d}=99$,
关键点 利用S₉₉ - T₉₉ = 99,列出关于d的方程,结果注意d＞1.
即50d² - d - 51 = 0,
解得d = $\frac{51}{50}$或d = - 1(舍去). ………… 10分
②当a₁=2d时,aₙ=(n + 1)d,
所以bₙ=$\frac{n^{2}+n}{a_{n}}=\frac{n^{2}+n}{(n + 1)d}=\frac{n}{d}$,
避易错 讨论另一种情况,不可遗漏.
S₉₉=$\frac{99(a_{1}+a_{99})}{2}=\frac{99(2d + 100d)}{2}=99×51d$,
T₉₉=$\frac{99(b_{1}+b_{99})}{2}=\frac{99(\frac{1}{d}+\frac{99}{d})}{2}=\frac{99×50}{d}$.
因为S₉₉ - T₉₉ = 99,
所以99×51d - $\frac{99×50}{d}=99$,
即51d² - d - 50 = 0,
解得d = - $\frac{50}{51}$(舍去)或d = 1(舍去). ……… 11分
综上,d = $\frac{51}{50}$. ……………………… 12分
解法二:因为S₉₉ - T₉₉ = 99,由等差数列的性质知,且99a₅₀ - 99b₅₀ = 99,即a₅₀ - b₅₀ = 1,
传技巧 利用等差数列的性质,可以简化运算过程.列方程求出a₅₀,注意由d＞1可知aₙ＞0.
所以a₅₀ - $\frac{2 550}{a_{50}}=1$,即a₅₀² - a₅₀ - 2 550 = 0,
解得a₅₀ = 51或a₅₀ = - 50(舍去). ……… 10分
①当a₁=d时,a₅₀=a₁+49d=50d=51,
解得d = $\frac{51}{50}$.
②当a₁=2d时,a₅₀=a₁+49d=51d=51,
解得d = 1,与d＞1矛盾,应舍去. ……… 11分
综上,d = $\frac{51}{50}$. ……………………… 12分
解法三:因为{aₙ},{bₙ}都是等差数列,且aₙbₙ=n(n + 1),
所以可设$\begin{cases}a_{n}=\frac{1}{k}(n + 1)\\b_{n}=kn\end{cases}$或$\begin{cases}a_{n}=kn\\b_{n}=\frac{1}{k}(n + 1)\end{cases}$, …… 9分
敲黑板 构造新数列要考虑全面,少写一组不得分.
(i)当aₙ=$\frac{1}{k}(n + 1)$,bₙ=kn时,
S₉₉ - T₉₉=$\frac{1}{k}(2 + 3 + … + 100)-k(1 + 2 + … + 99)=99$,即50k² + k - 51 = 0,
解得k = - $\frac{51}{50}$或k = 1,因为d = k＞1,所以均不合题意. ……………………… 10分
(ii)当aₙ=kn,bₙ=$\frac{1}{k}(n + 1)$时,
S₉₉ - T₉₉=k(1 + 2 + … + 99)-$\frac{1}{k}(2 + 3 + … + 100)=99$,即50k² - k - 51 = 0,
解得k = $\frac{51}{50}$或k = - 1.
因为d = k＞1,所以k = $\frac{51}{50}$,
所以d = $\frac{51}{50}$. ……………………… 12分
拓思维 高考命题强调“多思考,少运算”的理念,试题面向全体学生,为考生搭建展示数学能力的平台.本解法根据给出的条件,巧妙的构造新的数列,突破常规解法,灵活运用数列知识,解题方法“高人一招”,解题速度“快人一步”.
解题技法
等差、等比数列综合问题的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;
2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.

答案： [解析]
(1)由$\frac{2S_{n}}{n}+n = 2a_{n}+1$，
得$2S_{n}+n^{2}=2a_{n}n + n$①，
所以$2S_{n + 1}+(n + 1)^{2}=2a_{n + 1}(n + 1)+(n + 1)$②，
② - ①，得$2a_{n + 1}+2n + 1=2a_{n + 1}(n + 1)-2a_{n}n + 1$，
化简得$a_{n + 1}-a_{n}=1$，
所以数列$\{a_{n}\}$是公差为1的等差数列.
(2)由
(1)知数列$\{a_{n}\}$的公差为1.
由$a_{4},a_{7},a_{9}$成等比数列，得$a_{7}^{2}=a_{4}a_{9}$，
即$(a_{1}+6)^{2}=(a_{1}+3)(a_{1}+8)$，
解得$a_{1}=-12$，
所以$S_{n}=-12n+\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{n^{2}-25n}{2}$
$=\frac{1}{2}(n-\frac{25}{2})^{2}-\frac{625}{8}$，
所以，当$n = 12$或$n = 13$时，$(S_{n})_{min}=-78$.