《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
已知$a_{i}＞0(i = 1,2,\cdots,6,i\in\mathbf{N})$，且$a_{1}+a_{3}=1,a_{2}+a_{5}=2,a_{4}+a_{6}=3$，证明：
（1）$(2+\frac{1}{a_{1}})(1+\frac{1}{a_{3}})\geq7 + 2\sqrt{6}$。
（2）$\sqrt{a_{1}+2a_{2}}+\sqrt{2(a_{3}+a_{4})}+\sqrt{3(2a_{5}+a_{6})}＜7$。

答案： 【对点训练】
【证明】
(1)因为$a_{1}+a_{3}=1$，所以$(2+\frac{a_{1}}{a_{3}})(1+\frac{a_{3}}{a_{1}})=(2+\frac{a_{1}+a_{3}}{a_{3}})(1+\frac{a_{1}+a_{3}}{a_{1}})=(3+\frac{a_{3}}{a_{1}})(2+\frac{a_{1}}{a_{3}})=7+\frac{3a_{1}}{a_{3}}+\frac{2a_{3}}{a_{1}}\geqslant7+2\sqrt{\frac{3a_{1}}{a_{3}}\cdot\frac{2a_{3}}{a_{1}}}=7+2\sqrt{6}$.当且仅当$\frac{3a_{1}}{a_{3}}=\frac{2a_{3}}{a_{1}}$，即$a_{1}=\sqrt{6}-2,a_{3}=3-\sqrt{6}$时取等号.
(2)由柯西不等式得：$[(a_{1}+2a_{2})+(a_{3}+a_{4})+(2a_{5}+a_{6})](1 + 2+3)\geqslant[\sqrt{a_{1}+2a_{2}}+\sqrt{2(a_{3}+a_{4})}+\sqrt{3(2a_{5}+a_{6})}]^{2}$，所以$\sqrt{a_{1}+2a_{2}}+\sqrt{2(a_{3}+a_{4})}+\sqrt{3(2a_{5}+a_{6})}\leqslant\sqrt{6[(a_{1}+a_{3})+2(a_{2}+a_{5})+(a_{4}+a_{6})]}=\sqrt{6(1 + 4+3)}=\sqrt{48}$，当且仅当$\frac{\sqrt{a_{1}+2a_{2}}}{1}=\frac{\sqrt{a_{3}+a_{4}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2a_{5}+a_{6}}}{\sqrt{3}}$时，取等号.$\sqrt{a_{1}+2a_{2}}+\sqrt{2(a_{3}+a_{4})}+\sqrt{3(2a_{5}+a_{6})}\leqslant\sqrt{48}＜7$.

类型一 利用不等式链求最值
[例1]（1）（多选题）设正实数$a,b$满足$a + b = 1$，则 （ ）
A. $\sqrt{ab}$有最大值$\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}$有最小值3
C. $a^{2}+b^{2}$有最小值$\frac{1}{2}$
D. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$有最大值$\sqrt{2}$
（2）函数$y=\sqrt{2x - 1}+\sqrt{5 - 2x}$的最大值为__________。

答案： [例1]
(1)ACD 对于A，由基本不等式可得$\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，A正确； 对于B，由$\frac{2}{\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}}\leq\frac{(a + 2b)+(2a + b)}{2}=\frac{3(a + b)}{2}=\frac{3}{2}$，得$\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}\geq\frac{4}{3}$，当且仅当$a + 2b = 2a + b$，即$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，B错误； 对于C，由$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{a + b}{2}=\frac{1}{2}$，得$a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，C正确； 对于D，由$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a + b}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，得$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，D正确.
(2)【解析】函数的定义域为$x\in[\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$， 由$\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$， 得$a + b\leq2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$，则$y=\sqrt{2x - 1}+\sqrt{5 - 2x}\leq2\sqrt{\frac{2x - 1+5 - 2x}{2}}=2\sqrt{2}$， 当且仅当$\sqrt{2x - 1}=\sqrt{5 - 2x}$，即$x=\frac{3}{2}$时等号成立. 答案：$2\sqrt{2}$

类型二 利用基本不等式链证明不等式
[例2]已知$a,b,c$都是非负实数，求证：$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq\sqrt{2}(a + b + c)$。

答案：  [例2]【证明】因为$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{a + b}{2}$， 所以$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}(a + b)$， 同理，$\sqrt{b^{2}+c^{2}}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}(b + c)$， $\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}(c + a)$， 相加可得$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}(a + b)+\frac{\sqrt{2}}{2}(b + c)+\frac{\sqrt{2}}{2}(c + a)=\sqrt{2}(a + b + c)$， 当且仅当$a = b = c$时等号成立.