《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 双曲线的定义
（1）一般地，把平面内与两个定点$F_1$，$F_2$的距离的差的绝对值等于非零常数（小于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个______叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）数学表达式：集合$P = \{ M|||MF_1| - |MF_2|| = 2a,0 ＜ 2a ＜ |F_1F_2|\}$，$|F_1F_2| = 2c$，其中$a$，$c$为常数，且$c ＞ a ＞ 0$.
微点拨（1）当$|PF_1| - |PF_2| = 2a(2a ＜ |F_1F_2|)$时，点$P$的轨迹为靠近$F_2$的双曲线的一支. 当$|PF_1| - |PF_2| = -2a(2a ＜ |F_1F_2|)$时，点$P$的轨迹为靠近$F_1$的双曲线的一支.
（2）若$a = c$，则轨迹是以$F_1$，$F_2$为端点的两条射线；若$a ＞ c$，则轨迹不存在；若$a = 0$，则轨迹是线段$F_1F_2$的垂直平分线.

答案：
(1)定点

2. 双曲线的标准方程和几何性质
|标准方程|$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a ＞ 0,b ＞ 0)$|$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ $(a ＞ 0,b ＞ 0)$|
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|图形|![img id=1]|![img id=2]|
|范围|$x\leq -a$或$x\geq a,y\in\mathbf{R}$|$y\leq -a$或$y\geq a,x\in\mathbf{R}$|
|对称性|对称轴：______ 对称中心：______|对称轴：______ 对称中心：______|
|顶点|顶点坐标：$A_1$______，$A_2$______|顶点坐标：$A_1$______，$A_2$______|
|渐近线|$y = \pm\frac{b}{a}x$|$y = \pm\frac{a}{b}x$|
|离心率|$e = \frac{c}{a},e\in(1,+\infty)$|$e = \frac{c}{a},e\in(1,+\infty)$|
|$a$，$b$，$c$的关系|$c^2 =$______|$c^2 =$______|
|实虚轴|线段$A_1A_2$叫做双曲线的实轴，它的长$|A_1A_2| =$______；线段$B_1B_2$叫做双曲线的虚轴，它的长$|B_1B_2| =$______；$a$叫做双曲线的实半轴长，$b$叫做双曲线的虚半轴长|线段$A_1A_2$叫做双曲线的实轴，它的长$|A_1A_2| =$______；线段$B_1B_2$叫做双曲线的虚轴，它的长$|B_1B_2| =$______；$a$叫做双曲线的实半轴长，$b$叫做双曲线的虚半轴长|
|等轴双曲线|①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.②性质：$a = b$；$e = \sqrt{2}$；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项|①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.②性质：$a = b$；$e = \sqrt{2}$；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项|

答案： 原点 (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a) $a^{2}+b^{2}$ 2a 2b