《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. (2021·全国乙卷)把函数$y = f(x)$图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到函数$y=\sin(x - \frac{\pi}{4})$的图象，则$f(x)$等于 ( )
A. $\sin(\frac{x}{2}-\frac{7\pi}{12})$ B. $\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})$
C. $\sin(2x - \frac{7\pi}{12})$ D. $\sin(2x+\frac{\pi}{12})$

答案： 2. B 依题意，将$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得到$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(x + \frac{\pi}{12}\right)$的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到$f(x)$的图象，即$f(x)=\sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}\right)$.

3. (必修第一册P241T4改条件)函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)(A ＞ 0,0 ＜ |\varphi| ＜ \pi)$在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为________________.

答案： 3.【解析】从题图可知：$\frac{1}{4}T=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}$，
所以$T = \pi$，$\omega = 2$，又因为$2\times\frac{7\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
所以$\varphi=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，又因为$0＜|\varphi|＜\pi$，所以$\varphi=-\frac{2\pi}{3}$，
显然$A = 2$，因此$y = 2\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
答案：$y = 2\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$

4. (混淆$\omega$值的影响)函数$y = \cos x$图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为$y = \cos\omega x$，则$\omega$的值为 ( )
A. 3 B. $\frac{1}{3}$ C. 9 D. $\frac{1}{9}$

答案： 4. B 函数$y = \cos x$图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为$y = \cos\frac{1}{3}x$，所以$\omega=\frac{1}{3}$.

[例1]用“五点法”画出函数$y=\sqrt{3}\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}$的图象，并指出这个函数的周期与单调区间.

答案：
[例1]【解析】$y=\sqrt{3}\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$，
令$M=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}$，则列表如下：
|$M$|$0$|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|$\frac{3\pi}{2}$|$2\pi$|
|$x$|$-\frac{\pi}{3}$|$\frac{2\pi}{3}$|$\frac{5\pi}{3}$|$\frac{8\pi}{3}$|$\frac{11\pi}{3}$|
|$y = 2\sin M$|$0$|$2$|$0$|$-2$|$0$|
在坐标系中描出相应的五点，用平滑的曲线连接起来，向两端伸展一下，如图所示.

从图象观察该函数的周期为$T=\frac{11\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=4\pi$.
$\left[-\frac{4\pi}{3}+4k\pi,\frac{2\pi}{3}+4k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$为单调递增区间，
$\left[\frac{2\pi}{3}+4k\pi,\frac{8\pi}{3}+4k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$为单调递减区间.

已知函数$f(x)=2\sin(\omega x+\varphi),\omega ＞ 0,|\varphi|\leq\frac{\pi}{2}$.若$f(x_1)=2,f(x_2)=0$，且$|x_1 - x_2|$的最小值为$\frac{\pi}{4},f(0)=1$.
(1)求$f(x)$的单调递增区间；
(2)请完成表格并利用五点画图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求$f(x)$在区间$[0,\frac{7\pi}{12}]$上的最值.
|$X=\omega x+\varphi$| | | | | |
|----|----|----|----|----|----|
|$x$| | | | | |
|$f(x)$| | | | | |

答案：
【解析】
(1)若$f(x_1)=2$，$f(x_2)=0$，即$x_1$是$f(x)$的最大值点，$x_2$是$f(x)$的零点，且$|x_1 - x_2|$的最小值为$\frac{\pi}{4}$，设$f(x)$的最小正周期为$T$，
则$\frac{T}{4}=\frac{\pi}{4}$，即$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，解得$\omega = 2$.
由$f(0)=1$，得$f(0)=2\sin\varphi=1$，即有$\sin\varphi=\frac{1}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$或$\varphi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
又$|\varphi|\leq\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$.综上所述，$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$，令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得$-\frac{\pi}{3}+k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{6}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，所以$f(x)$的单调递增区间为$\left[-\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$.
(2)根据“五点画图法”的要求先完成表格，令$X = 2x+\frac{\pi}{6}$，则
|$X$|$0$|$\frac{\pi}{2}$|$\pi$|$\frac{3\pi}{2}$|$2\pi$|
|$x$|$-\frac{\pi}{12}$|$\frac{\pi}{6}$|$\frac{5\pi}{12}$|$\frac{2\pi}{3}$|$\frac{11\pi}{12}$|
|$f(x)$|$0$|$2$|$0$|$-2$|$0$|

由图可知，当$x=\frac{\pi}{6}$时，$f(x)$取到最大值2；当$x=\frac{7\pi}{12}$时，$f(x)$取到最小值$-\sqrt{3}$.