《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 平面与平面平行的判定
[例3]如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
(1)EG//平面BDD1B1；
(2)平面EFG//平面BDD1B1.

答案：
[例3][证明]
(1)连接 $SB$，如图所示:
　　　　　　
因为 $E$，$G$ 分别是 $BC$，$SC$ 的中点，所以 $EG// SB$，
又因为 $SB\subset$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，$EG\not\subset$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，
所以直线 $EG//$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$；
(2)连接 $SD$，如图所示，
因为 $F$，$G$ 分别是 $DC$，$SC$ 的中点，
所以 $FG// SD$，
又因为 $SD\subset$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，$FG\not\subset$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，
所以 $FG//$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，
由
(1)得 $EG//$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$，且 $EG\subset$ 平面 $EFG$，$FG\subset$ 平面 $EFG$，$EG\cap FG = G$，
所以平面 $EFG//$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$.

角度2 平面与平面平行的性质
[例4](2023·承德模拟)如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，G在棱BB1上，且AE = FC1 = B1G = 1，H是棱B1C1上一点。
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若平面A1GH//平面BED1F，求证：H为B1C1的中点。

答案：
[例4][证明]
(1)如图，在 $DD_{1}$ 上取一点 $N$ 使得 $DN = 1$，
连接 $CN$，$EN$，则 $AE = DN = 1$，$CF = ND_{1}=2$，
　　　　　
因为 $CF// ND_{1}$，所以四边形 $CFD_{1}N$ 是平行四边形，所以 $D_{1}F// CN$.
同理四边形 $DNEA$ 是平行四边形，
所以 $EN// AD$，且 $EN = AD$，
又 $BC// AD$，且 $AD = BC$，
所以 $EN// BC$，$EN = BC$，
所以四边形 $CNEB$ 是平行四边形，
所以 $CN// BE$，所以 $D_{1}F// BE$，
所以 $E$，$B$，$F$，$D_{1}$ 四点共面；
(2)因为平面 $A_{1}GH//$ 平面 $BED_{1}F$，
平面 $BB_{1}C_{1}C\cap$ 平面 $A_{1}HG = HG$，
平面 $BB_{1}C_{1}C\cap$ 平面 $BED_{1}F = BF$，所以 $BF// HG$.
所以 $\angle B_{1}GH=\angle FBG=\angle CFB$，在 $Rt\triangle BCF$ 中，$\tan\angle CFB=\frac{BC}{CF}=\frac{3}{2}$，
在 $Rt\triangle HB_{1}G$ 中，$\tan\angle B_{1}GH=\frac{B_{1}H}{B_{1}G}=B_{1}H$，所以 $B_{1}H=\frac{3}{2}$，即 $H$ 为 $B_{1}C_{1}$ 的中点