《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能为 ( )

A. $f(x)=x\sin\pi x$
B. $f(x)=(x - 1)\sin\pi x$
C. $f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]$
D. $f(x)=(x - 1)\cos\pi x$

答案： 2. B　对于A，$f(-x)=-x\sin(-\pi x)=x\sin\pi x=f(x)$，所以函数$f(x)=x\sin\pi x$为偶函数，故排除A；对于C，$f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]=-x\cos\pi x$，则$f(-x)=x\cos\pi x=-f(x)$，所以函数$f(x)=x\cos[\pi(x + 1)]$为奇函数，故排除C；对于D，$f(0)=-1\neq0$，故排除D.

3. 函数$f(x)=x\ln x$的图象如图所示，则函数$y = f(1 - x)$的大致图象为 ( )

答案： 3. D　方法一：函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，由$1 - x＞0$得$x＜1$，即函数$y = f(1 - x)$的定义域为$(-\infty,1)$，排除A，C. $f(1 - x)=(1 - x)\ln(1 - x)$，设$g(x)=f(1 - x)=(1 - x)\ln(1 - x)$，则$g(-1)=2\ln2＞0$，排除B.
方法二：将函数$f(x)$的图象进行以$y$轴为对称轴的翻折变换，得到函数$y = f(-x)$的图象，再将图象向右平移一个单位长度，即可得到函数$y = f(-(x - 1))=f(1 - x)$的图象.

4. 如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线$l\perp AB$交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设$AE = x$，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是 ( )

答案： 4. C　当$l$从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了$D$点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了$C$点后面积的增加速度又逐渐减慢.

[例6] (1) 已知函数$f(x)=x|x|-2x$，则下列结论正确的是 ( )
A. $f(x)$是偶函数，单调递增区间是$(0,+\infty)$
B. $f(x)$是偶函数，单调递减区间是$(-\infty,1)$
C. $f(x)$是奇函数，单调递减区间是$(-1,1)$
D. $f(x)$是奇函数，单调递增区间是$(-\infty,0)$
(2) 不等式$\log_{2}(-x)＜x + 1$的解集为________。
(3) 若直线$y = x + m$和曲线$y = \sqrt{1 - x^{2}}$有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________。

答案：
[例6]
(1)C　将函数$f(x)=x|x|-2x$去掉绝对值，得$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,x\geq0\\-x^{2}-2x,x＜0\end{cases}$，画出函数$f(x)$的图象，如图所示，观察图象可知，函数$f(x)$的图象关于原点对称，故函数$f(x)$为奇函数，且在$(-1,1)$上单调递减.
　　　　　
(2)[解析]设$f(x)=\log_{2}(-x)$，$g(x)=x + 1$. 函数$f(x)$，$g(x)(x＜0)$在同一坐标系中的图象如图.
　　　　　
由图象可知，不等式$\log_{2}(-x)＜x + 1$的解集为$(-1,0)$.
答案:$(-1,0)$
(3)[解析]曲线$y=\sqrt{1 - x^{2}}$表示圆$x^{2}+y^{2}=1$的上半部分(包括端点)，如图.

要使$y = x + m$与曲线$y=\sqrt{1 - x^{2}}$有两个不同的交点，则直线只能在$l_{1}$与$l_{2}$之间(含$l_{1}$)平移，故$1\leq m＜\sqrt{2}$.
答案:$[1,\sqrt{2})$

1. 定义$\max\{a,b,c\}$为a，b，c中的最大值，设$y = \max\{2^{x},2x - 3,6 - x\}$，则y的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

答案：
1. C　画出$y=\max\{2^{x},2x - 3,6 - x\}$的示意图，如图中实线部分所示，由图可知，$y$的最小值为4.
　　　　

2. 函数$f(x)$是周期为4的偶函数，当$x\in[0,2]$时，$f(x)=x - 1$，则不等式$xf(x)＞0$在$(-1,3)$上的解集为 ( )
A. $(1,3)$
B. $(-1,1)$
C. $(-1,0)\cup(1,3)$
D. $(-1,0)\cup(0,1)$

答案：
2. C　作出函数$f(x)$的图象如图所示，当$x\in(-1,0)$时，由$xf(x)＞0$得$x\in(-1,0)$；当$x\in(0,3)$时，由$xf(x)＞0$得$x\in(1,3)$. 所以$x\in(-1,0)\cup(1,3)$.
　　　　　

3. 已知函数$f(x)=|x - 2|+1,g(x)=kx$。若方程$f(x)=g(x)$有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________。

答案：
3. [解析]由已知，函数$f(x)=|x - 2|+1$与$g(x)=kx$的图象有两个公共点，画图可知当直线$y = kx$介于$l_{1}:y=\frac{1}{2}x$，$l_{2}:y = x$之间时，符合题意.
　　　　
答案:$(\frac{1}{2},1)$