《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

微思考：双曲线的范围经常在什么情况下使用？

答案： 提示:在求最值、范围、是否存在等题目求解时,使用范围这个性质.

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. （ ）
（2）若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同. （ ）
（3）焦点在$x$轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大. （ ）
（4）焦点在$x$轴上的双曲线与焦点在$y$轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. （ ）

答案： 1. 提示:
(1)√.双曲线的焦点一定在实轴上;
(2)×.若两条双曲线的焦点相同,$\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{e^{2}-1}$,若离心率不同,焦点在x轴上时,则渐近线的斜率的绝对值$\frac{b}{a}$也不相同,则渐近线也不相同,同样焦点在y轴也有类似结论;
(3)√.$\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{e^{2}-1}$,焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,e越大,则$\frac{b}{a}$越大,即渐近线斜率的绝对值$\frac{b}{a}$越大;
(4)×.焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$和$\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$的渐近线相同,都为$y=\pm\frac{b}{a}x$.

2.（混淆焦点位置）已知双曲线的两个焦点分别为$F_1(0,-5)$，$F_2(0,5)$，双曲线上一点$P$与$F_1$，$F_2$的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
B. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
C. $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
D. $\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1$

答案： 2. C 由题意,$c = 5$,$2a = 6$,所以$a = 3$,则$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}} = 4$,结合条件可知,双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$.

3.（选择性必修第一册P120例1变条件）已知平面内两定点$A(-5,0)$，$B(5,0)$，动点$M$满足$|MA| - |MB| = 6$，则点$M$的轨迹方程是（ ）
A. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
B. $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1(x\geq 4)$
C. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
D. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1(x\geq 3)$

答案： 3. D 由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知$c = 5$,$a = 3$,所以$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}} = 4$,故点M的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(x\geqslant3)$.

4.（2021·全国甲卷）已知$F_1$，$F_2$是双曲线$C$的两个焦点，$P$为$C$上一点，且$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，$|PF_1| = 3|PF_2|$，则$C$的离心率为（ ）
A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{13}$
C. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{13}}{2}$

答案： 4. C 设$\vert PF_{1}\vert = m$,$\vert PF_{2}\vert = n$,则根据题意及余弦定理可得:
$\begin{cases}m = 3n\\\frac{1}{2}=\frac{m^{2}+n^{2}-4c^{2}}{2mn}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}m=\frac{6}{\sqrt{7}}c\\n=\frac{2}{\sqrt{7}}c\end{cases}$,
所以所求离心率为$\frac{2c}{2a}=\frac{2c}{m - n}=\frac{2c}{\frac{4}{\sqrt{7}}c}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

[例1]（1）（2024·潍坊模拟）已知动圆$M$与两圆$x^2 + y^2 = 1$和$x^2 + y^2 - 6x + 7 = 0$都外切，则动圆$M$的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
（2）若$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$的左、右焦点.
①若双曲线上一点$P$到焦点$F_1$的距离为7，求$|PF_2|$；
②若点$P$是双曲线上的一点，且$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，求$\triangle F_1PF_2$的面积.

答案： [例1]
(1)B 题中两圆分别记为圆A:$x^{2}+y^{2}=1$以及圆B:$(x - 3)^{2}+y^{2}=2$,设动圆圆心为$M(x,y)$,半径为r,则$\begin{cases}\vert MA\vert = 1 + r\\\vert MB\vert=\sqrt{2}+r\end{cases}$,于是$\vert MB\vert-\vert MA\vert=\sqrt{2}-1(＜\vert AB\vert = 3)$为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.
(2)[解析]①由$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$,得$a = 3$,$b = 4$,$c = 5$.
由于$\vert PF_{1}\vert = 7＜a + c = 8$,因此点P在双曲线的左支上,因此$\vert PF_{2}\vert-\vert PF_{1}\vert = 6$,结合$\vert PF_{1}\vert = 7$可知$\vert PF_{2}\vert = 13$.
②由定义和余弦定理得$\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert=\pm6$,$\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}=\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}-2\vert PF_{1}\vert\vert PF_{2}\vert\cdot\cos60^{\circ}$,所以$10^{2}=(\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert)^{2}+\vert PF_{1}\vert\vert PF_{2}\vert$,所以$\vert PF_{1}\vert\vert PF_{2}\vert = 64$,所以$S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}\vert PF_{1}\vert\vert PF_{2}\vert\cdot\sin\angle F_{1}PF_{2}=\frac{1}{2}\times64\times\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$.